Les Suites Numériques
Terminale — Spécialité Maths
Suites arithmétiques
Une suite (uₙ) est arithmétique de raison r si pour tout n :
uₙ₊₁ = uₙ + rTerme général
uₙ = u₀ + n·rou uₙ = u₁ + (n−1)·r
Somme des n+1 premiers termes
S = (n+1)(u₀ + uₙ)/2nb de termes × (premier + dernier) / 2
Exemple concret :
La suite 3, 7, 11, 15, 19... est arithmétique de raison r = 4 et u₀ = 3.
u₁₀ = 3 + 10 × 4 = 43
S = somme des 11 premiers termes = 11 × (3 + 43) / 2 = 253
Suites géométriques
Une suite (uₙ) est géométrique de raison q si pour tout n :
uₙ₊₁ = uₙ × qTerme général
uₙ = u₀ × qⁿSomme des n+1 premiers termes (q ≠ 1)
S = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q)Exemple concret :
La suite 2, 6, 18, 54... est géométrique de raison q = 3 et u₀ = 2.
u₅ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486
Somme des 6 premiers termes = 2 × (1 − 3⁶)/(1 − 3) = 2 × (−728)/(−2) = 728
Convergence et limites
Une suite (uₙ) converge vers ℓ si uₙ se rapproche de ℓ quand n → +∞.
Suite arithmétique (u₀ + nr)
Si r > 0
→ +∞
Si r < 0
→ −∞
Si r = 0
Constante
Suite géométrique (u₀ × qⁿ) avec u₀ > 0
|q| < 1
→ 0
q = 1
Constante
q > 1
→ +∞
q ≤ −1
Diverge
Raisonnement par récurrence
Pour démontrer que P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀ :
- 1. Initialisation : Vérifier que P(n₀) est vraie.
- 2. Hérédité : Supposer P(n) vraie (hypothèse de récurrence), montrer que P(n+1) est vraie.
- 3. Conclusion : Par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
Exemple : Montrer que pour tout n ≥ 1, 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
Init : Pour n=1 : 1 = 1×2/2 = 1 ✓
Hérédité : On suppose 1+2+...+n = n(n+1)/2.
Alors 1+2+...+n+(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2 ✓
Conclusion : Propriété vraie pour tout n ≥ 1.
Suite monotone et suite bornée
Suite croissante
uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n
Ou : uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0
Ou (si uₙ > 0) : uₙ₊₁/uₙ ≥ 1
Suite bornée
Il existe m et M tels que m ≤ uₙ ≤ M pour tout n.
Théorème clé : Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.
Erreurs fréquentes
❌ La somme des termes d'une suite géométrique est u₀(1−qⁿ)/(1−q)
✅ Attention au nombre de termes ! La somme de u₀ à uₙ comporte n+1 termes, pas n.
❌ Oublier l'initialisation dans une récurrence
✅ Sans initialisation, la récurrence ne prouve rien. C'est comme un domino qu'on ne pousse jamais.
❌ Si uₙ₊₁ > uₙ pour les premiers termes, la suite est croissante
✅ Il faut le prouver pour TOUT n, pas juste quelques valeurs.
❌ Confondre raison r et premier terme u₀
✅ La raison est l'écart constant (arithm.) ou le rapport constant (géom.), pas le premier terme.
Exercices type BAC
Exercice 1
Soit (uₙ) définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ − 4.
a) Montrer que la suite (vₙ) = uₙ − 2 est géométrique.
b) En déduire uₙ en fonction de n.
Voir la correction
a) vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 2 = 3uₙ − 4 − 2 = 3uₙ − 6 = 3(uₙ − 2) = 3vₙ
Donc (vₙ) est géométrique de raison 3 et v₀ = u₀ − 2 = 0.
b) vₙ = 0 × 3ⁿ = 0, donc uₙ = vₙ + 2 = 2 pour tout n. La suite est constante.
Exercice 2
Un capital de 1000€ est placé à 5% d'intérêts composés par an.
a) Exprimer le capital Cₙ après n années.
b) Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 2000€ ?
Voir la correction
a) Cₙ = 1000 × 1,05ⁿ (suite géométrique de raison 1,05)
b) On cherche n tel que 1000 × 1,05ⁿ > 2000
1,05ⁿ > 2 ⟹ n·ln(1,05) > ln(2) ⟹ n > ln(2)/ln(1,05) ≈ 14,2
Réponse : au bout de 15 ans.