La Fonction Exponentielle
Terminale — Spécialité Maths
Définition
La fonction exponentielle, notée exp ou eˣ, est l'unique fonction f définie sur ℝ telle que :
f'(x) = f(x) pour tout x ∈ ℝf(0) = 1La constante e ≈ 2,71828... est la valeur de exp(1). C'est un nombre irrationnel fondamental en mathématiques.
Propriétés algébriques
Pour tous réels a et b :
eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇProduit
eᵃ / eᵇ = eᵃ⁻ᵇQuotient
(eᵃ)ⁿ = eⁿᵃPuissance
e⁰ = 1Valeur en 0
e¹ = e ≈ 2,718Valeur en 1
1/eᵃ = e⁻ᵃInverse
eˡⁿ⁽ˣ⁾ = x (x > 0)Composition avec ln
ln(eˣ) = xComposition réciproque
Propriété fondamentale : eˣ > 0 pour tout x ∈ ℝ. L'exponentielle ne s'annule jamais !
Dérivation
Dérivée de eˣ :
(eˣ)' = eˣL'exponentielle est sa propre dérivée !
Dérivée de eᵘ (formule composée) :
(eᵘ)' = u' × eᵘoù u est une fonction dérivable
Exemples :
• f(x) = e²ˣ → f'(x) = 2e²ˣ
• f(x) = e⁻ˣ² → f'(x) = −2x · e⁻ˣ²
• f(x) = x · eˣ → f'(x) = eˣ + x · eˣ = (1+x)eˣ (produit)
Limites classiques (à connaître par cœur)
lim(x→+∞) eˣ = +∞Croissance très rapide
lim(x→−∞) eˣ = 0Asymptote horizontale y = 0
Croissances comparées (fondamental !)
lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞eˣ l'emporte sur toute puissance de x
lim(x→−∞) xⁿ · eˣ = 0eˣ tend plus vite vers 0 que toute puissance
Astuce mémo : « L'exponentielle gagne toujours. » En +∞, eˣ écrase tout polynôme. En −∞, eˣ → 0 plus vite que tout.
Variations et courbe
Tableau de variations
| x | −∞ | +∞ | |
| f'(x) = eˣ | + (toujours positive) | ||
| f(x) = eˣ | 0 | ↗ | +∞ |
Propriétés de la courbe
- Strictement croissante sur ℝ
- Passe par le point (0, 1)
- Asymptote horizontale y = 0 en −∞
- Convexe (la courbe est au-dessus de ses tangentes)
- Tangente en x=0 : y = x + 1
Exemples résolus
Exemple 1 : Résoudre e²ˣ⁻¹ = e³
Comme exp est une bijection : 2x − 1 = 3, donc x = 2
Exemple 2 : Résoudre eˣ = 5
On passe au ln : x = ln(5) ≈ 1,609
Exemple 3 : Calculer la limite de (x² − 3x) · eˣ quand x → −∞
x² − 3x → +∞ et eˣ → 0. Par croissances comparées : xⁿ · eˣ → 0.
Donc la limite est 0.
Exemple 4 : Étudier le signe de f(x) = (2x−1)eˣ
eˣ > 0 toujours, donc le signe de f dépend de 2x−1.
f(x) > 0 ⟺ 2x−1 > 0 ⟺ x > 1/2
Erreurs fréquentes
❌ eᵃ⁺ᵇ = eᵃ + eᵇ
✅ eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ (c'est un PRODUIT, pas une somme).
❌ eˣ peut être négatif ou nul
✅ eˣ > 0 pour tout x. L'exponentielle ne s'annule JAMAIS.
❌ La dérivée de e²ˣ est e²ˣ
✅ (e²ˣ)' = 2e²ˣ. Ne pas oublier de multiplier par u' !
❌ (eˣ)² = e²ˣ est faux
✅ C'est VRAI ! (eˣ)² = eˣ × eˣ = e²ˣ par la règle du produit.
Exercices type BAC
Exercice 1
Soit f(x) = (x − 2)eˣ définie sur ℝ.
a) Calculer f'(x). b) Dresser le tableau de variations. c) Calculer les limites en ±∞.
Voir la correction
a) f'(x) = eˣ + (x−2)eˣ = (1 + x − 2)eˣ = (x−1)eˣ
b) f'(x) = 0 ⟺ x = 1 (car eˣ > 0). f' < 0 sur ]−∞;1[, f' > 0 sur ]1;+∞[.
Minimum en x=1 : f(1) = (1−2)e¹ = −e ≈ −2,72
c) lim(x→+∞) f(x) = +∞ (eˣ domine). lim(x→−∞) f(x) = 0 (croissances comparées).
Exercice 2
Résoudre l'équation : e²ˣ − 5eˣ + 6 = 0
Voir la correction
On pose X = eˣ (avec X > 0). L'équation devient : X² − 5X + 6 = 0
Δ = 25 − 24 = 1. X₁ = (5−1)/2 = 2, X₂ = (5+1)/2 = 3.
Donc eˣ = 2 → x = ln(2) ≈ 0,693 ou eˣ = 3 → x = ln(3) ≈ 1,099.
S = {ln(2) ; ln(3)}