Le Logarithme Népérien
Terminale — Spécialité Maths
Définition
La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur ]0 ; +∞[ comme la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Autrement dit : y = ln(x) ⟺ x = eʸ
Le logarithme népérien répond à la question : « À quelle puissance faut-il élever e pour obtenir x ? »
Propriétés algébriques
Pour tous réels a > 0 et b > 0, et pour tout entier n :
ln(a × b) = ln(a) + ln(b)Logarithme d'un produit
ln(a / b) = ln(a) − ln(b)Logarithme d'un quotient
ln(aⁿ) = n × ln(a)Logarithme d'une puissance
ln(1/a) = −ln(a)Logarithme de l'inverse
ln(√a) = ½ × ln(a)Logarithme d'une racine
ln(e) = 1Valeur en e
ln(1) = 0Valeur en 1
ln(eⁿ) = nComposition avec exp
Dérivation
Dérivée de ln(x) :
(ln(x))' = 1/xpour tout x > 0
Dérivée de ln(u) (formule composée) :
(ln(u))' = u'/uoù u est une fonction dérivable strictement positive
Exemple : Dériver f(x) = ln(x² + 1)
On pose u(x) = x² + 1, donc u'(x) = 2x
f'(x) = u'/u = 2x / (x² + 1)
Limites classiques (à connaître par cœur)
lim(x→+∞) ln(x) = +∞ln tend vers +∞ (lentement)
lim(x→0⁺) ln(x) = −∞ln tend vers −∞ en 0
lim(x→+∞) ln(x)/x = 0Croissances comparées : exp l'emporte sur ln
lim(x→0⁺) x·ln(x) = 0Croissances comparées en 0
Astuce BAC : « La fonction ln croît moins vite que toute puissance de x ». Retiens que ln(x)/xⁿ → 0 pour tout n > 0.
Logarithme décimal (log₁₀)
log₁₀(x) = ln(x) / ln(10)Le logarithme décimal est utilisé en sciences (pH, décibels, échelle de Richter).
log₁₀(1)
0
log₁₀(10)
1
log₁₀(100)
2
log₁₀(1000)
3
Exemples résolus
Exemple 1 : Résoudre ln(x) = 3
Par définition : x = e³ ≈ 20,09
Exemple 2 : Simplifier ln(e⁵) + ln(e⁻²)
ln(e⁵) + ln(e⁻²) = 5 + (−2) = 3
Exemple 3 : Résoudre ln(2x − 1) = ln(x + 4)
ln étant strictement croissante, on a : 2x − 1 = x + 4
Donc x = 5. Vérification : 2(5)−1 = 9 > 0 et 5+4 = 9 > 0 ✓
Exemple 4 : Résoudre ln(x²) = 4
2·ln|x| = 4, donc ln|x| = 2, donc |x| = e²
Solutions : x = e² ou x = −e² (vérifier le domaine !)
Erreurs fréquentes
❌ ln(a + b) = ln(a) + ln(b)
✅ ln(a + b) ne se simplifie PAS. Seul ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
❌ ln(a²) = ln(a)²
✅ ln(a²) = 2·ln(a), pas le carré de ln(a).
❌ ln(x) existe pour x = 0
✅ ln est défini sur ]0 ; +∞[. ln(0) n'existe pas.
❌ La dérivée de ln(2x) est 1/(2x)
✅ (ln(2x))' = 2/(2x) = 1/x (par la formule u'/u).
Exercices type BAC
Exercice 1
Soit f(x) = x·ln(x) − x définie sur ]0 ; +∞[.
a) Calculer f'(x) et étudier son signe.
b) Dresser le tableau de variations de f.
Voir la correction
a) f'(x) = ln(x) + x·(1/x) − 1 = ln(x) + 1 − 1 = ln(x)
f'(x) > 0 ⟺ ln(x) > 0 ⟺ x > 1
b) f est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+∞[. Minimum en x=1 : f(1) = −1.
Exercice 2
Résoudre dans ℝ : ln(x+3) + ln(x−1) = ln(8)
Voir la correction
Domaine : x+3 > 0 et x−1 > 0, donc x > 1.
ln((x+3)(x−1)) = ln(8), donc (x+3)(x−1) = 8
x² + 2x − 3 = 8, x² + 2x − 11 = 0
Δ = 4 + 44 = 48, x = (−2 ± 4√3)/2 = −1 ± 2√3
Seule x = −1 + 2√3 ≈ 2,46 est > 1. Solution unique.