Méthode complète pour maîtriser les fonctions linéaires

Tu es en 3ème et tu prépares le brevet 2026 ? Les fonctions linéaires sont une notion clé du programme. Pas de panique : avec cette méthode complète, tu vas tout comprendre, de la définition aux exercices types. On y va !

Qu'est-ce qu'une fonction linéaire ?

Une fonction linéaire est une fonction qui peut s'écrire sous la forme f(x) = a x, où a est un nombre réel appelé coefficient directeur (ou pente). Elle modélise une situation de proportionnalité : si tu doubles x, f(x) double aussi.

Exemple : f(x) = 3x. Pour x = 2, f(2) = 6 ; pour x = 4, f(4) = 12. Le coefficient directeur a = 3 signifie que quand x augmente de 1, f(x) augmente de 3.

Propriétés fondamentales

Image de 0 : f(0) = a × 0 = 0. Toute fonction linéaire passe par l'origine du repère (0 ; 0).
Proportionnalité : f(kx) = k × f(x) pour tout k réel.
Représentation graphique : une droite passant par l'origine. Le coefficient directeur a détermine la pente de la droite.

Comment tracer la droite ?

Pour tracer f(x) = a x, il suffit de deux points : (0 ; 0) et (1 ; a). Relie-les, et tu obtiens la droite. Par exemple, pour f(x) = -2x, tu as les points (0 ; 0) et (1 ; -2).

Méthode étape par étape pour résoudre un problème

Voici les étapes à suivre pour tout exercice sur les fonctions linéaires :

Identifier la forme : Vérifie que la relation est bien du type f(x) = a x (pas de terme constant).
Déterminer a : Si on te donne deux couples (x ; f(x)), calcule a = f(x) / x (avec x ≠ 0).
Calculer une image : Remplace x par la valeur donnée dans f(x) = a x.
Calculer un antécédent : Résous l'équation a x = y pour trouver x.
Représenter graphiquement : Place deux points (dont l'origine) et trace la droite.

Exemple concret entièrement résolu

Énoncé : Une fonction linéaire f vérifie f(3) = 12. Détermine son expression, puis calcule f(5) et l'antécédent de 20.

Solution :

f(x) = a x, donc f(3) = a × 3 = 12 → a = 12 / 3 = 4. Donc f(x) = 4x.
f(5) = 4 × 5 = 20.
Antécédent de 20 : on résout 4x = 20 → x = 20 / 4 = 5. L'antécédent de 20 est 5.

Vérification : f(5) = 20, c'est cohérent.

Pièges fréquents à éviter

Confondre avec une fonction affine : Une fonction linéaire n'a pas de terme constant. Si tu vois f(x) = a x + b avec b ≠ 0, ce n'est pas linéaire.
Oublier que f(0) = 0 : La droite passe toujours par l'origine.
Erreur de signe : Si a est négatif, la droite descend. Par exemple, f(x) = -3x : quand x augmente, f(x) diminue.

Conseils pour réviser le brevet 2026

Pour être au point sur les fonctions linéaires :

Refais les exercices de ton manuel et les sujets d'annales du brevet.
Entraîne-toi à tracer des droites rapidement.
Utilise les fiches de révision sur Revisemaths.fr/fiches.
Pour plus d'exercices, consulte AlloBrevET.

N'oublie pas de t'entraîner régulièrement. Les fonctions linéaires sont un jeu d'enfant avec un peu de pratique !

Conclusion

Maintenant, tu sais tout sur les fonctions linéaires. Tu connais la définition, la méthode, et tu as vu un exemple complet. Pour approfondir, explore nos cours de maths sur Revisemaths.fr/cours et Revisemaths.fr/maths. Bonne chance pour le brevet 2026 !

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?

Une fonction linéaire s'écrit f(x) = a x (pas de terme constant), tandis qu'une fonction affine s'écrit f(x) = a x + b avec b non nul. La droite d'une fonction linéaire passe toujours par l'origine, contrairement à une fonction affine.

Comment calculer le coefficient directeur d'une fonction linéaire ?

Si tu connais un point (x ; f(x)) avec x ≠ 0, alors a = f(x) / x. Par exemple, si f(2) = 10, alors a = 10 / 2 = 5.

Comment tracer la représentation graphique d'une fonction linéaire ?

Place deux points : (0 ; 0) et (1 ; a), puis trace la droite qui les relie. Par exemple, pour f(x) = 3x, les points sont (0 ; 0) et (1 ; 3).

Une fonction linéaire peut-elle être constante ?

Oui, si a = 0, alors f(x) = 0 pour tout x. La droite est l'axe des abscisses (horizontale). C'est un cas particulier.

Comment savoir si une fonction est linéaire à partir d'un tableau de valeurs ?

Vérifie que les rapports f(x) / x sont constants (pour x ≠ 0). Par exemple, si pour x=1, f=4 ; pour x=2, f=8 ; pour x=3, f=12, alors le rapport vaut toujours 4, donc c'est linéaire.