L'intégrale est une notion clé de la spécialité maths en terminale. Elle permet de calculer l'aire sous une courbe, mais aussi de modéliser des accumulations (distances, volumes, etc.). Dans cet article, tu vas découvrir la définition rigoureuse, les propriétés essentielles et des méthodes de calcul d'intégrale, avec des exemples entièrement résolus. Que tu sois en train de réviser pour un contrôle ou pour le bac, tu trouveras ici tout ce qu'il te faut pour maîtriser l'intégrale.
Qu'est-ce qu'une intégrale ?
En terminale, on définit l'intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] comme l'aire (en unités d'aire) de la région délimitée par la courbe représentative de la fonction, l'axe des abscisses et les droites verticales x = a et x = b. Mais cette définition géométrique n'est pas suffisante pour toutes les fonctions. La vraie définition s'appuie sur les primitives.
Le lien avec les primitives
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et F une primitive de f sur I. Alors l'intégrale de f entre a et b, notée ∫_a^b f(x) dx, est égale à F(b) - F(a). Cette différence s'appelle la variation de la primitive. En clair : pour calculer une intégrale, il suffit de trouver une primitive de f, puis de faire la différence de ses valeurs aux bornes.
Propriétés fondamentales de l'intégrale
L'intégrale possède plusieurs propriétés qu'il faut connaître par cœur pour réussir les exercices.
- Linéarité : ∫_a^b (k f(x) + g(x)) dx = k ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx.
- Relation de Chasles : ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx.
- Positivité : Si f ≥ 0 sur [a ; b], alors ∫_a^b f(x) dx ≥ 0.
- Intégrale d'une fonction paire ou impaire : Si f est paire, ∫_{-a}^a f(x) dx = 2 ∫_0^a f(x) dx. Si f est impaire, ∫_{-a}^a f(x) dx = 0.
Ces propriétés permettent souvent de simplifier les calculs, notamment pour les fonctions symétriques.
Méthode pour calculer une intégrale pas à pas
Pour calculer une intégrale, suis toujours cette démarche :
- Identifie la fonction f et les bornes a et b.
- Trouve une primitive F de f. Pour cela, utilise les primitives usuelles (voir plus bas).
- Calcule F(b) - F(a) en remplaçant x par b puis par a.
- Vérifie l'unité : si l'intégrale représente une aire, le résultat doit être positif. Si f est négative sur une partie, l'intégrale peut être négative.
Tableau des primitives usuelles à connaître
Voici les primitives les plus fréquentes (avec C constante réelle) :
- f(x) = k (constante) → F(x) = kx + C
- f(x) = x^n (n ≠ -1) → F(x) = x^(n+1)/(n+1) + C
- f(x) = 1/x (x > 0) → F(x) = ln(x) + C
- f(x) = e^x → F(x) = e^x + C
- f(x) = cos(x) → F(x) = sin(x) + C
- f(x) = sin(x) → F(x) = -cos(x) + C
- f(x) = 1/(1+x^2) → F(x) = arctan(x) + C
N'oublie pas que la constante C disparaît dans le calcul de l'intégrale, car F(b) - F(a) ne dépend pas de C.
Exemple détaillé : calcul d'intégrale d'une fonction polynomiale
Calculons I = ∫_1^3 (2x + 1) dx.
Étape 1 : La fonction est f(x) = 2x + 1, continue sur [1 ; 3].
Étape 2 : Primitive : F(x) = x^2 + x (car la primitive de 2x est x^2, et celle de 1 est x).
Étape 3 : F(3) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12. F(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2.
Étape 4 : I = F(3) - F(1) = 12 - 2 = 10.
Donc ∫_1^3 (2x + 1) dx = 10.
Interprétation géométrique
La fonction f(x) = 2x + 1 est positive sur [1 ; 3]. L'intégrale représente l'aire du trapèze délimité par la droite, l'axe des abscisses et les droites x = 1 et x = 3. On peut vérifier : aire = (base1 + base2) × hauteur / 2 = (f(1) + f(3)) × (3 - 1) / 2 = (3 + 7) × 2 / 2 = 10. Le résultat coïncide.
Exemple avec une fonction exponentielle
Calculons J = ∫_0^2 e^(2x) dx.
Primitive : pour e^(2x), on a F(x) = (1/2) e^(2x) (car la dérivée de e^(2x) est 2e^(2x), donc on divise par 2).
F(2) = (1/2) e^4, F(0) = (1/2) e^0 = 1/2.
J = (1/2) e^4 - 1/2 = (e^4 - 1)/2.
Valeur approchée : e^4 ≈ 54,598, donc J ≈ 26,799.
Pièges fréquents et conseils de révision
Voici les erreurs les plus courantes en calcul d'intégrale, et comment les éviter.
- Oublier de diviser par la dérivée de la fonction composée : pour e^(2x), il faut bien diviser par 2.
- Confondre primitive et dérivée : la primitive de x^2 est x^3/3, pas 2x.
- Ne pas vérifier le signe : si la fonction est négative sur l'intervalle, l'intégrale est négative. Pour une aire, on prend la valeur absolue.
- Mal appliquer la relation de Chasles : pour découper une intégrale, les bornes doivent se suivre.
Pour t'entraîner, refais les exemples ci-dessus sans regarder, puis invente des fonctions simples (polynômes, exponentielle, trigo) et calcule leurs intégrales sur des intervalles choisis. Vérifie avec une calculatrice si possible.
L'intégrale dans les exercices de bac
Au bac, l'intégrale est souvent utilisée pour :
- Calculer une aire entre deux courbes (en faisant la différence des intégrales).
- Calculer une valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : valeur moyenne = (1/(b-a)) ∫_a^b f(x) dx.
- Étudier des suites définies par des intégrales (par exemple u_n = ∫_0^1 x^n e^x dx).
Maîtriser le calcul d'intégrale est donc indispensable pour aborder sereinement ces exercices.
Conclusion
L'intégrale est un outil puissant qui relie l'analyse géométrique et le calcul algébrique. En connaissant les primitives usuelles et les propriétés de l'intégrale, tu peux résoudre une grande variété de problèmes. N'hésite pas à t'entraîner régulièrement avec des exercices variés. Pour approfondir, consulte nos cours et fiches de révision sur Revisemaths.fr. Et si tu passes le brevet, jette un œil à AlloBrevET pour des ressources adaptées.