Les statistiques, c'est la partie des maths qui te permet de résumer et d'analyser des données. Que tu sois en 5e ou en Terminale, tu tomberas toujours sur des exercices de moyenne, de médiane ou d'étendue. Bonne nouvelle : ces exercices sont très codifiés et, une fois que tu connais la méthode, tu peux les réussir à coup sûr. Dans cet article, on passe en revue les exercices types à savoir refaire, avec des exemples concrets et détaillés. Prêt à devenir un champion des stats ? C'est parti.
Les indicateurs statistiques essentiels : définitions et formules
Avant de se lancer dans les exercices, il faut bien comprendre les trois indicateurs de base : la moyenne, la médiane et l'étendue. Ce sont eux qui reviennent le plus souvent dans les contrôles.
La moyenne : simple et pondérée
La moyenne, c'est ce que tu utilises pour résumer une série de nombres en une seule valeur. Au collège, tu apprends la moyenne simple : tu additionnes toutes les valeurs, puis tu divises par le nombre de valeurs.
Par exemple, si tu as les notes : 12, 15, 8 et 10, la moyenne est (12 + 15 + 8 + 10) ÷ 4 = 45 ÷ 4 = 11,25.
Mais en 4e et en 3e, on introduit la moyenne pondérée. Chaque valeur a un coefficient (ou un effectif). La formule devient :
Moyenne pondérée = (somme des (valeur × coefficient)) ÷ (somme des coefficients)
Exemple : un élève a obtenu 14 en maths (coefficient 3), 11 en français (coefficient 2) et 9 en histoire (coefficient 1). Sa moyenne est : (14×3 + 11×2 + 9×1) ÷ (3+2+1) = (42 + 22 + 9) ÷ 6 = 73 ÷ 6 ≈ 12,17.
La médiane : la valeur du milieu
La médiane, c'est la valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif. Pour la trouver, il faut d'abord ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
Si le nombre de valeurs est impair, la médiane est la valeur du milieu. Par exemple, pour la série 3, 5, 7, 9, 12, la médiane est 7 (la 3e valeur).
Si le nombre de valeurs est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs du milieu. Par exemple, pour 2, 4, 6, 8, la médiane est (4 + 6) ÷ 2 = 5.
Attention : la médiane n'est pas la moyenne ! Elle est souvent plus représentative quand il y a des valeurs extrêmes.
L'étendue : la dispersion des données
L'étendue, c'est tout simplement la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série. Elle mesure la dispersion : plus l'étendue est grande, plus les valeurs sont dispersées.
Pour la série 5, 12, 8, 20, l'étendue est 20 - 5 = 15.
Au lycée, on ajoutera d'autres indicateurs comme la variance et l'écart-type, mais l'étendue reste un classique.
Exercice type 1 : calculer une moyenne à partir d'un tableau d'effectifs
C'est l'exercice le plus courant au collège. On te donne un tableau avec des valeurs et leurs effectifs, et tu dois calculer la moyenne. La méthode est toujours la même :
1. Multiplie chaque valeur par son effectif.
2. Additionne tous ces produits.
3. Divise par l'effectif total.
Exemple : Dans une classe de 6e, on a demandé aux élèves le nombre de frères et sœurs. Voici les résultats :
- 0 frère ou sœur : 5 élèves
- 1 frère ou sœur : 12 élèves
- 2 frères ou sœurs : 8 élèves
- 3 frères ou sœurs : 3 élèves
Calculons la moyenne :
Somme des produits : 0×5 + 1×12 + 2×8 + 3×3 = 0 + 12 + 16 + 9 = 37.
Effectif total : 5 + 12 + 8 + 3 = 28.
Moyenne : 37 ÷ 28 ≈ 1,32.
Interprétation : en moyenne, les élèves de cette classe ont environ 1,32 frère ou sœur.
Pour t'entraîner, tu peux refaire cet exercice avec des données différentes. Le plus important, c'est de ne pas oublier de diviser par l'effectif total, et non par le nombre de lignes du tableau.
Exercice type 2 : déterminer la médiane à partir d'une liste de valeurs
Ici, on te donne une liste de nombres, souvent des notes ou des mesures, et on te demande la médiane. La méthode :
1. Range les valeurs dans l'ordre croissant.
2. Repère le nombre de valeurs (n).
3. Si n est impair, la médiane est la valeur de rang (n+1)/2.
4. Si n est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rang n/2 et n/2 + 1.
Exemple : Voici les notes d'un élève en maths sur l'année : 12, 8, 15, 11, 9, 14, 13.
Étape 1 : on range : 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15.
Étape 2 : il y a 7 valeurs (impair).
Étape 3 : la médiane est la 4e valeur (car (7+1)/2 = 4), donc 12.
Interprétation : la moitié des notes sont inférieures ou égales à 12, l'autre moitié supérieures ou égales à 12.
Si on ajoute une note de 16, la série devient : 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Il y a 8 valeurs (pair). La médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs : (12 + 13) ÷ 2 = 12,5.
Exercice type 3 : calculer l'étendue et interpréter
L'étendue est souvent demandée en complément de la moyenne ou de la médiane. C'est un exercice rapide, mais il faut faire attention à bien identifier les valeurs extrêmes.
Exemple : Les températures maximales (en °C) relevées dans une ville pendant une semaine sont : 18, 22, 19, 25, 17, 21, 20.
La plus grande valeur est 25, la plus petite est 17. L'étendue est donc 25 - 17 = 8 °C.
Interprétation : les températures ont varié de 8 °C sur la semaine.
Un piège classique : oublier de ranger les valeurs avant de chercher le min et le max. Mais ici, ce n'est pas nécessaire, il suffit de repérer les valeurs extrêmes. Par contre, pour la médiane, il faut absolument ranger.
Exercice type 4 : moyenne et médiane à partir d'un diagramme ou d'un histogramme
Au collège, on te donne parfois un graphique (diagramme en bâtons, histogramme) et tu dois en extraire les données pour calculer les indicateurs. C'est un exercice très prisé car il teste ta capacité à lire un graphique.
Exemple : Le diagramme en bâtons ci-dessous (imaginé) donne le nombre de livres lus par les élèves d'une classe. Les bâtons indiquent : 0 livre : 3 élèves ; 1 livre : 5 élèves ; 2 livres : 8 élèves ; 3 livres : 4 élèves.
On te demande la moyenne et la médiane.
Pour la moyenne : on utilise la même méthode que pour le tableau d'effectifs. Somme des produits : 0×3 + 1×5 + 2×8 + 3×4 = 0 + 5 + 16 + 12 = 33. Effectif total : 3 + 5 + 8 + 4 = 20. Moyenne = 33 ÷ 20 = 1,65 livre.
Pour la médiane : il faut d'abord écrire la série de toutes les valeurs. On a 3 élèves qui ont lu 0 livre, 5 qui ont lu 1, etc. La série ordonnée est : 0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3 (20 valeurs). La médiane est la moyenne des 10e et 11e valeurs. La 10e valeur est 2 (car on a 3 zéros + 5 uns = 8 valeurs, donc les 9e et 10e sont des 2), et la 11e est aussi 2. Donc médiane = (2+2)/2 = 2.
Interprétation : la moitié des élèves ont lu au plus 2 livres.
Ce type d'exercice te demande de passer du graphique au tableau, puis au calcul. N'hésite pas à bien noter les effectifs au brouillon.
Exercice type 5 : comparaison de séries avec moyenne et médiane (niveau 3e)
Au brevet, on te demande souvent de comparer deux séries statistiques à l'aide de la moyenne et de la médiane. C'est un exercice de synthèse qui mobilise plusieurs notions.
Exemple : Deux classes de 3e ont passé le même test de maths. Les résultats (sur 20) sont résumés ainsi :
- Classe A : moyenne = 12, médiane = 13, étendue = 8
- Classe B : moyenne = 12, médiane = 11, étendue = 15
Question : que peut-on dire des deux classes ?
Analyse : les deux classes ont la même moyenne, donc en moyenne, les résultats sont identiques. Mais la médiane de la classe A est plus élevée, ce qui signifie que la moitié des élèves de la classe A ont plus de 13, alors que dans la classe B, la moitié ont plus de 11. L'étendue de la classe A est plus petite, donc les résultats sont plus homogènes. Dans la classe B, il y a de très bons et de très mauvais résultats.
Conclusion : la classe A est plus homogène avec de bons résultats, tandis que la classe B a une plus grande dispersion.
Pour réussir ce type d'exercice, il faut bien comprendre ce que chaque indicateur mesure : la moyenne donne une tendance centrale, la médiane donne le point milieu, l'étendue donne la dispersion.
Exercice type 6 : avec des classes (niveau 2nde et plus)
Au lycée, on travaille souvent avec des données regroupées en classes, par exemple des âges ou des tailles. Là, on ne connaît pas les valeurs exactes, seulement les intervalles.
Exemple : On a relevé les tailles (en cm) de 30 élèves :
- [140 ; 150[ : 4 élèves
- [150 ; 160[ : 10 élèves
- [160 ; 170[ : 12 élèves
- [170 ; 180[ : 4 élèves
Pour calculer la moyenne, on utilise le centre de chaque classe : (140+150)/2 = 145, (150+160)/2 = 155, (160+170)/2 = 165, (170+180)/2 = 175.
Moyenne = (145×4 + 155×10 + 165×12 + 175×4) ÷ 30 = (580 + 1550 + 1980 + 700) ÷ 30 = 4810 ÷ 30 ≈ 160,33 cm.
Pour la médiane, on utilise les fréquences cumulées. On calcule d'abord les effectifs cumulés : 4, 14, 26, 30. La médiane est la valeur qui correspond à la moitié de l'effectif total, soit 15. La classe médiane est [160 ; 170[ car l'effectif cumulé atteint 14 avant, puis 26 après. On peut ensuite estimer la médiane par interpolation linéaire, mais souvent on se contente de donner la classe médiane.
Cet exercice est typique du programme de 2nde. Il faut maîtriser les centres de classes et les effectifs cumulés.
Les pièges à éviter et nos conseils pour réussir
Voici les erreurs les plus fréquentes dans les exercices de statistiques :
- Oublier de ranger les valeurs avant de chercher la médiane. C'est l'erreur n°1.
- Confondre moyenne et médiane. La moyenne se calcule, la médiane se cherche après tri.
- Diviser par le nombre de lignes du tableau au lieu de l'effectif total dans une moyenne pondérée.
- Oublier les coefficients dans une moyenne pondérée.
- Ne pas lire correctement un graphique : vérifie les axes et les unités.
Pour bien réviser, voici nos conseils :
- Refais les exercices types plusieurs fois, en changeant les données.
- Entraîne-toi à calculer la moyenne et la médiane sur des petites séries (5 à 10 valeurs) mentalement ou au brouillon.
- Pour le brevet et le bac, les statistiques sont souvent au programme, alors n'hésite pas à consulter nos fiches de révision.
- Utilise des exercices variés : tableaux, graphiques, listes simples.
Si tu as besoin de revoir d'autres chapitres, tu peux aussi explorer nos cours de maths ou la page d'accueil maths.
Conclusion : à toi de jouer !
Les statistiques, ce n'est pas si compliqué quand on connaît les méthodes. Tu as maintenant toutes les clés pour réussir les exercices types : moyenne, médiane, étendue, avec des tableaux, des graphiques ou des classes. N'oublie pas : la pratique est essentielle. Plus tu feras d'exercices, plus ces notions deviendront naturelles.
Alors, ouvre ton cahier, prends un stylo et lance-toi ! Tu vas voir, ça va bien se passer. Et si tu bloques, reviens sur cet article ou consulte nos ressources. Bon courage !