Qu'est-ce qu'une loi de probabilité en terminale ?

Une loi de probabilité en terminale est une fonction qui associe à chaque issue d'une expérience aléatoire une probabilité comprise entre 0 et 1, avec la somme des probabilités égale à 1. Elle est souvent définie pour une variable aléatoire, qui associe un nombre à chaque issue. Par exemple, pour un dé équilibré, chaque face a une probabilité de 1/6.

Comment calculer l'espérance d'une loi de probabilité ?

L'espérance E(X) se calcule en faisant la somme des produits de chaque valeur possible par sa probabilité : E(X) = x1×p1 + x2×p2 + ... + xn×pn. Elle représente la valeur moyenne que prend la variable aléatoire sur un grand nombre d'expériences. Par exemple, si X vaut 3 avec probabilité 1/2 et -2 avec probabilité 1/2, alors E(X) = 3×0,5 + (-2)×0,5 = 0,5.

Quelle est la différence entre une loi de probabilité et une variable aléatoire ?

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire. La loi de probabilité est la description des probabilités associées à chaque valeur possible de cette variable. En d'autres termes, la variable aléatoire définit les valeurs, et la loi de probabilité donne les probabilités de ces valeurs.

Comment reconnaître une loi binomiale ?

Une loi binomiale B(n, p) modélise le nombre de succès dans une série de n expériences de Bernoulli identiques et indépendantes, où chaque expérience a une probabilité de succès p. Les conditions sont : n expériences indépendantes, deux issues possibles (succès/échec), et probabilité de succès constante. On utilise alors la formule P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k).

Comment réviser les probabilités pour le brevet 2026 ?

Pour le brevet, il faut maîtriser le calcul de probabilités simples (cas favorables / cas possibles), les arbres de probabilité pour des expériences à deux étapes, et savoir que la somme des probabilités vaut 1. Entraîne-toi avec des exercices types comme le lancer de dés, les tirages de boules, etc. Utilise des fiches de r��vision et des annales du brevet.

Quelle est la formule de la variance d'une variable aléatoire ?

La variance V(X) se calcule soit avec la formule V(X) = Σ (xi - E(X))² × pi, soit avec la formule de König : V(X) = E(X²) - (E(X))², où E(X²) = Σ xi² × pi. Par exemple, pour une loi de Bernoulli de paramètre p, V(X) = p(1-p).

Loi de probabilité en terminale : le guide complet

Bienvenue dans ce guide complet sur la loi de probabilité, une notion centrale en terminale (spécialité maths) mais qui trouve aussi ses racines au collège. Que tu sois en train de préparer le brevet 2026 (révision 3ème) ou que tu abordes la spécialité maths en terminale, tu es au bon endroit. Ici, on va démystifier la loi de probabilité : sa définition, ses applications, et surtout comment l'utiliser pour résoudre des exercices. Pas de blabla, on va droit au but avec des exemples concrets et des méthodes pas à pas.

Qu'est-ce qu'une loi de probabilité ?

Commençons par le commencement. En probabilités, on s'intéresse à des expériences aléatoires : lancer un dé, tirer une carte, etc. Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles. Par exemple, lancer un dé à six faces a six issues : obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Une loi de probabilité, c'est tout simplement la description de la probabilité de chaque issue.

Plus formellement, pour un univers Ω (l'ensemble de toutes les issues possibles), une loi de probabilité associe à chaque issue un nombre entre 0 et 1, appelé probabilité, avec deux conditions :

Chaque probabilité est comprise entre 0 et 1 (inclus).
La somme de toutes les probabilités est égale à 1.

Cette définition est valable que tu sois en 3ème (où on parle de probabilités simples) ou en terminale (où on formalise avec des variables aléatoires). Pour bien comprendre, prenons un exemple simple.

Exemple : lancer d'un dé équilibré

Si tu lances un dé équilibré à six faces, chaque face a la même chance de sortir. La probabilité d'obtenir une face précise, disons le 4, est de 1/6. La loi de probabilité se présente souvent sous forme de tableau :

Issue : 1, 2, 3, 4, 5, 6
Probabilité : 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6

La somme des probabilités : 6 × (1/6) = 1. C'est bien une loi de probabilité.

Mais en terminale, on va plus loin : on introduit la notion de variable aléatoire.

Variable aléatoire et loi de probabilité en terminale

En terminale, une loi de probabilité est souvent associée à une variable aléatoire, notée X. Une variable aléatoire, c'est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Par exemple, si on lance deux dés et qu'on note X la somme des résultats, X peut prendre les valeurs 2, 3, ..., 12.

La loi de probabilité de X, c'est la liste des probabilités P(X = x_i) pour chaque valeur possible x_i. On la présente encore sous forme de tableau :

Valeurs possibles : x_1, x_2, ..., x_n
Probabilités : p_1, p_2, ..., p_n

Avec p_i entre 0 et 1, et la somme des p_i = 1.

Comment construire une loi de probabilité ?

Voici la méthode en trois étapes :

Identifier toutes les issues possibles de l'expérience.
Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
Calculer la probabilité de chaque valeur en utilisant les règles de probabilité (équiprobabilité, arbres, etc.).

Prenons un exemple classique : on lance deux pièces équilibrées. On note X le nombre de faces « Pile » obtenu. Les valeurs possibles de X sont 0, 1, 2. Calculons les probabilités :

P(X=0) : obtenir deux fois Face, probabilité = 1/2 × 1/2 = 1/4.
P(X=1) : obtenir une Pile et une Face. Il y a deux ordres possibles (PF ou FP), donc probabilité = 2 × (1/2 × 1/2) = 1/2.
P(X=2) : obtenir deux Piles, probabilité = 1/4.

La loi de probabilité est donc :

X=0 : 1/4
X=1 : 1/2
X=2 : 1/4

Somme : 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1. Parfait.

Espérance, variance et écart-type : les indicateurs clés

Une fois que tu as la loi de probabilité d'une variable aléatoire, tu peux calculer des indicateurs qui résument la distribution. Les plus importants sont l'espérance, la variance et l'écart-type.

L'espérance (notée E(X))

L'espérance est la moyenne pondérée des valeurs possibles de X. Elle se calcule ainsi :

E(X) = x_1 × p_1 + x_2 × p_2 + ... + x_n × p_n

Dans l'exemple des deux pièces : E(X) = 0 × (1/4) + 1 × (1/2) + 2 × (1/4) = 0 + 0,5 + 0,5 = 1. Cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de lancers, tu obtiendras en moyenne une Pile.

La variance (notée V(X))

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Elle se calcule de deux manières équivalentes :

V(X) = (x_1 - E(X))² × p_1 + (x_2 - E(X))² × p_2 + ... + (x_n - E(X))² × p_n

Ou avec la formule de König : V(X) = E(X²) - (E(X))², où E(X²) = x_1² × p_1 + ... + x_n² × p_n.

Pour notre exemple : E(X²) = 0² × (1/4) + 1² × (1/2) + 2² × (1/4) = 0 + 0,5 + 1 = 1,5. Donc V(X) = 1,5 - 1² = 0,5.

L'écart-type (noté σ)

L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ = √V(X). Dans notre exemple, σ = √0,5 ≈ 0,707. Il donne une idée de l'écart moyen entre les valeurs et l'espérance.

Exemple concret entièrement résolu : jeu de hasard

Prenons un exercice typique de terminale : un jeu de hasard consiste à lancer un dé équilibré à 6 faces. Si on obtient un nombre pair, on gagne 3 euros ; sinon, on perd 2 euros. On note X le gain algébrique (positif si gain, négatif si perte).

Étape 1 : Déterminer les valeurs possibles de X. Si le résultat est pair (2, 4, 6), X = 3. Si impair (1, 3, 5), X = -2. Donc X prend deux valeurs : 3 et -2.

Étape 2 : Calculer les probabilités. Il y a 3 faces paires sur 6, donc P(X=3) = 3/6 = 1/2. De même, P(X=-2) = 3/6 = 1/2.

Étape 3 : Vérifier que la somme fait 1 : 1/2 + 1/2 = 1.

Étape 4 : Calculer l'espérance. E(X) = 3 × (1/2) + (-2) × (1/2) = 1,5 - 1 = 0,5. Cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de parties, tu gagnes 0,50 euro par partie. Le jeu est donc favorable au joueur.

Étape 5 : Calculer la variance. E(X²) = 3² × (1/2) + (-2)² × (1/2) = 9 × 0,5 + 4 × 0,5 = 4,5 + 2 = 6,5. Donc V(X) = 6,5 - (0,5)² = 6,5 - 0,25 = 6,25. L'écart-type est √6,25 = 2,5. Cela indique une dispersion assez élevée par rapport au gain moyen.

Cet exemple illustre comment on utilise la loi de probabilité pour modéliser un jeu et prendre des décisions.

Les lois de probabilité classiques au lycée

En terminale, tu étudies aussi des lois de probabilité spécifiques. Voici les deux plus importantes :

La loi uniforme discrète

Quand toutes les issues ont la même probabilité, on parle de loi uniforme. Par exemple, lancer un dé équilibré : chaque face a probabilité 1/6. Pour une variable aléatoire X qui prend les valeurs 1, 2, ..., n avec équiprobabilité, on a P(X=k) = 1/n pour tout k.

La loi de Bernoulli et la loi binomiale

Une expérience de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité p) et échec (probabilité 1-p). La variable aléatoire qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit une loi de Bernoulli de paramètre p. Son espérance est p et sa variance p(1-p).

Quand on répète n fois une expérience de Bernoulli de manière indépendante, et qu'on note X le nombre de succès, X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p). La probabilité d'obtenir k succès est :

P(X=k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k), où C(n, k) est le coefficient binomial.

Par exemple, si on lance 5 fois une pièce équilibrée (p=0,5), la probabilité d'obtenir exactement 3 Piles est :

P(X=3) = C(5, 3) × (0,5)^3 × (0,5)^2 = 10 × 0,125 × 0,25 = 0,3125.

L'espérance de la loi binomiale est np, et sa variance np(1-p). Ces formules sont à connaître par cœur pour le bac.

Révision 3ème : les bases des probabilités pour le brevet 2026

Si tu es en 3ème, tu n'as pas encore vu les variables aléatoires, mais tu dois maîtriser les probabilités simples. Pour le brevet 2026, voici l'essentiel :

Calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité : P = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.
Utiliser des arbres de probabilité pour des expériences à plusieurs étapes.
Comprendre que la somme des probabilités de toutes les issues est 1.

Par exemple, si une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues, la probabilité de tirer une boule rouge est 3/10 = 0,3. Simple, non ?

Pour t'entraîner, consulte nos fiches de révision et nos cours de maths.

Pièges fréquents et conseils de méthode

Voici les erreurs les plus courantes à éviter quand tu manipules les lois de probabilité :

Oublier que la somme des probabilités doit être 1. Vérifie toujours ton tableau.
Confondre P(X = k) et P(X ≤ k). En terminale, on utilise souvent la fonction de répartition.
Pour la loi binomiale, ne pas vérifier les conditions : n expériences identiques et indépendantes.
Dans le calcul de l'espérance, ne pas oublier les signes négatifs quand il y a des pertes.
Utiliser la formule de König pour la variance, mais attention à bien élever E(X) au carré.

Conseil méthode : pour tout exercice de probabilité, commence par écrire clairement l'univers, puis la variable aléatoire, puis la loi. Cette structure t'évitera bien des erreurs.

Conclusion : pratique, pratique, pratique !

La loi de probabilité est un outil puissant qui te permet de quantifier le hasard. Que tu sois en 3ème pour le brevet 2026 ou en terminale pour le bac, la clé est de t'entraîner sur des exercices variés. N'hésite pas à refaire les exemples de cet article, puis à t'attaquer aux annales. Tu verras, plus tu pratiques, plus les probabilités deviennent intuitives. Et si tu as besoin de ressources supplémentaires, explore nos cours de maths et nos fiches pratiques.

Pour les révisions du brevet, rends-toi sur AlloBrevet ; pour le bac, AlloBac propose des ressources adaptées.

Tu es prêt(e) : lance-toi, et fais des probabilités ton point fort !