Comment faire un tableau de signes ?

On place les racines de chaque facteur dans l'ordre croissant. On détermine le signe de chaque facteur (négatif avant la racine, positif après). Ensuite, on applique la règle des signes pour le produit ou le quotient.

Que faire en cas d'inéquation quotient ?

Il faut exclure les valeurs qui annulent le dénominateur (valeurs interdites). On étudie le signe du numérateur et du dénominateur séparément, puis on fait un tableau de signes en mettant une double barre pour la valeur interdite.

Comment résoudre une inéquation du second degré ?

On calcule le discriminant Δ = b² - 4ac. Si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines. Si Δ = 0, il est du signe de a partout sauf à la racine où il est nul. Si Δ < 0, il est toujours du signe de a.

Quels sont les pièges fréquents avec les inéquations ?

Oublier de changer le sens quand on divise par un négatif, oublier les valeurs interdites dans les quotients, mal placer les bornes dans les intervalles (crochets ouverts ou fermés).

Inéquations : les exercices types à savoir refaire

Q: Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Une inéquation est une inégalité mathématique contenant une inconnue, par exemple 2x + 3 > 7. Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'inégalité vraie.

Q: Comment résoudre une inéquation du premier degré ?

On isole l'inconnue en ajoutant ou soustrayant des termes, puis on divise par le coefficient de x. Attention : si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change.

Q: Quels sont les pièges fréquents avec les inéquations ?

Oublier de changer le sens quand on divise par un négatif, oublier les valeurs interdites dans les quotients, mal placer les bornes dans les intervalles (crochets ouverts ou fermés).

Tu galères avec les inéquations ? Pas de panique ! Dans cet article, on décortique les exercices types que tu dois savoir refaire, du collège au lycée. On va voir comment résoudre une inéquation du premier degré, étudier le signe d'un produit ou d'un quotient, et même attaquer le second degré. Prêt ? C'est parti.

Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Une inéquation, c'est une inégalité mathématique qui contient une inconnue (souvent x). Par exemple : 2x + 3 > 7. Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'inégalité vraie. La solution s'écrit souvent sous forme d'intervalle : x > 2 donne ]2 ; +∞[.

Au collège, tu manipules surtout des inéquations du premier degré (ax + b > 0). Au lycée, tu ajoutes les inéquations produits, quotients et du second degré.

Méthode générale pour résoudre une inéquation

Voici les étapes à suivre pour résoudre une inéquation :

Isoler l'inconnue : comme pour une équation, mais attention au sens de l'inégalité quand tu multiplies ou divises par un nombre négatif (le signe change).
Rassembler les termes : mets tous les x d'un côté, les constantes de l'autre.
Résoudre : divise par le coefficient de x, sans oublier de changer le sens si le coefficient est négatif.
Écrire l'intervalle solution : utilise les crochets ] ou [ selon que la borne est exclue ou incluse.

Exercice type 1 : inéquation du premier degré (collège)

Énoncé : Résous l'inéquation : 5x - 3 ≤ 2x + 9.

Correction :

On isole les termes en x : 5x - 2x ≤ 9 + 3 → 3x ≤ 12.
On divise par 3 (positif, le sens ne change pas) : x ≤ 4.
Solution : x ∈ ]-∞ ; 4].

Vérifie avec une valeur : pour x = 0, 5×0 - 3 = -3 ≤ 2×0 + 9 = 9, c'est vrai. Pour x = 5, 5×5 - 3 = 22 ≤ 2×5 + 9 = 19, c'est faux. OK.

Exercice type 2 : inéquation avec changement de signe

Énoncé : Résous : -2x + 5 > 3x - 10.

Correction :

Isolons : -2x - 3x > -10 - 5 → -5x > -15.
On divise par -5 (négatif !) : on change le sens : x < 3.
Solution : x ∈ ]-∞ ; 3[.

Piège fréquent : oublier de changer le signe de l'inégalité. Souviens-toi : diviser par un négatif inverse le sens.

Exercice type 3 : inéquation produit (lycée)

Énoncé : Résous (x - 2)(x + 3) ≤ 0.

Méthode : On étudie le signe de chaque facteur, puis on fait un tableau de signes.

Premier facteur : x - 2 = 0 → x = 2. Signe : négatif avant 2, positif après.
Deuxième facteur : x + 3 = 0 → x = -3. Signe : négatif avant -3, positif après.
Tableau de signes : on place les racines dans l'ordre croissant : -3 et 2.

Le produit (x-2)(x+3) est négatif ou nul sur l'intervalle [-3 ; 2]. Vérifie : pour x=0, (0-2)(0+3) = -6 ≤ 0, OK.

Exercice type 4 : inéquation quotient (lycée)

Énoncé : Résous (x + 1)/(x - 4) > 0.

Précautions : Le dénominateur ne doit pas être nul : x ≠ 4.

Numérateur : x + 1 = 0 → x = -1. Signe : négatif avant -1, positif après.
Dénominateur : x - 4 = 0 → x = 4. Signe : négatif avant 4, positif après.
Tableau de signes : on place -1 et 4. Attention : double barre pour la valeur interdite 4.

Le quotient est positif sur ]-∞ ; -1[ ∪ ]4 ; +∞[. Vérifie : pour x=0, (0+1)/(0-4) = -1/4 < 0, donc exclu.

Exercice type 5 : inéquation du second degré (1ère/Terminale)

Énoncé : Résous x² - 5x + 6 > 0.

Méthode : On calcule le discriminant Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1. Δ > 0, deux racines : x₁ = (5 - 1)/2 = 2, x₂ = (5 + 1)/2 = 3.

Le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur des racines. Donc x² - 5x + 6 > 0 pour x < 2 ou x > 3. Solution : ]-∞ ; 2[ ∪ ]3 ; +∞[.

Vérifie : pour x=0, 0 - 0 + 6 = 6 > 0, OK. Pour x=2,5, (2,5)² - 5×2,5 + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25 < 0, donc exclu.

Conseils pour réussir

Tableau de signes : toujours le faire pour les produits et quotients. Range les racines dans l'ordre croissant.
Valeurs interdites : pour les quotients, n'oublie pas d'exclure les valeurs qui annulent le dénominateur.
Vérification : prends un nombre dans chaque intervalle et teste l'inégalité.
Signe du coefficient : quand tu multiplies ou divises par un négatif, le sens change.

Pour t'entraîner, consulte nos exercices interactifs et les cours détaillés. Si tu prépares le brevet, jette un œil à AlloBrevets. Pour le bac, AlloBac peut t'aider.

Conclusion

Tu as maintenant les clés pour résoudre les principaux types d'inéquations. Entraîne-toi sur des exercices variés, et n'oublie pas : la méthode est reine. Avec de la pratique, tu deviendras un as des inéquations. Bon courage !