En classe de 3ème, tu découvres les suites numériques, et les suites géométriques sont un chapitre clé pour réussir le brevet 2026. Pas de panique ! Avec une bonne méthode et quelques exemples, tu vas comprendre comment les reconnaître, les calculer et les utiliser. Cet article te guide pas à pas, avec des explications simples et des exercices corrigés. Prêt à devenir un as des suites géométriques ? C'est parti !
Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Une suite géométrique est une liste de nombres où chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre constant. Ce nombre constant s'appelle la raison de la suite, souvent notée q.
En clair, si tu as une suite (u_n), alors pour passer d'un terme au suivant, tu multiplies toujours par le même nombre. Par exemple : 2, 6, 18, 54... Ici, chaque terme est obtenu en multipliant par 3 : 2 × 3 = 6, 6 × 3 = 18, etc. La raison est donc 3.
Définition mathématique
Une suite (u_n) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n, on ait : u_{n+1} = q × u_n. Cette relation s'appelle la relation de récurrence.
Par exemple, si u_0 = 5 et q = 2, alors : u_1 = 2 × u_0 = 2 × 5 = 10 u_2 = 2 × u_1 = 2 × 10 = 20 u_3 = 2 × u_2 = 2 × 20 = 40 Et ainsi de suite.
Comment reconnaître une suite géométrique ?
Dans un exercice, on te donne souvent les premiers termes. Pour vérifier si la suite est géométrique, calcule le quotient de chaque terme par le précédent : u_{n+1} / u_n. Si ces quotients sont tous égaux, alors la suite est géométrique, et ce quotient est la raison.
Exemple : On considère la suite : 3, 6, 12, 24. 6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2. Les quotients sont tous égaux à 2, donc la suite est géométrique de raison 2.
Attention : si un des quotients est différent, ce n'est pas une suite géométrique.
La formule explicite : le passage direct
Grâce à la relation de récurrence, on peut trouver une formule qui donne directement le terme u_n en fonction de n, sans avoir à calculer tous les termes précédents. Cette formule s'appelle la formule explicite.
Si le premier terme est u_0 et la raison est q, alors pour tout entier n : u_n = u_0 × q^n.
Si le premier terme est u_1 (parfois l'énoncé commence à u_1), la formule devient : u_n = u_1 × q^{n-1}.
Cette formule est très puissante : elle te permet de calculer n'importe quel terme rapidement, même pour un grand n.
Exemple d'utilisation
Reprenons u_0 = 5 et q = 2. Pour calculer u_10, utilise la formule : u_10 = 5 × 2^{10} = 5 × 1024 = 5120. Vérifions en calculant de proche en proche ? Ce serait long ! La formule explicite est bien plus efficace.
Méthode étape par étape pour résoudre un exercice
Voici une méthode claire à appliquer pour tout exercice sur les suites géométriques :
- Identifier les données : note le premier terme donné (u_0 ou u_1) et la raison q. Parfois, on te donne deux termes et il faut trouver la raison.
- Calculer la raison : si tu connais deux termes consécutifs, fais le quotient u_{n+1} / u_n. Si tu connais deux termes non consécutifs, utilise la formule explicite pour résoudre une équation.
- Écrire la formule explicite : selon que le premier terme est u_0 ou u_1, utilise la bonne formule.
- Répondre à la question : calcule le terme demandé, ou résous une équation pour trouver n.
Prenons un exemple complet :
Énoncé : Une suite géométrique a pour premier terme u_1 = 3 et pour raison q = 4. Calcule u_5.
Résolution : 1. Ici, le premier terme est u_1, donc on utilise u_n = u_1 × q^{n-1}. 2. On veut u_5 : u_5 = 3 × 4^{5-1} = 3 × 4^4. 3. Calculons 4^4 : 4^4 = 4 × 4 × 4 × 4 = 256. 4. Donc u_5 = 3 × 256 = 768.
Réponse : u_5 = 768.
Exemple concret : le problème des économies
Imaginons que tu places 100 € sur un livret qui rapporte 2 % d'intérêts chaque année. Le montant sur le livret suit une suite géométrique ! Voyons pourquoi.
Chaque année, le montant est multiplié par 1 + 2/100 = 1,02 (car tu gardes ton capital et tu gagnes 2 % de plus). Si on note u_n le montant après n années, avec u_0 = 100, alors : u_1 = 100 × 1,02 = 102 u_2 = 102 × 1,02 = 104,04 u_3 = 104,04 × 1,02 = 106,1208 Etc. La suite est géométrique de raison 1,02.
Question : quel sera le montant après 5 ans ? Utilisons la formule explicite : u_5 = 100 × 1,02^5. Calculons 1,02^5 : 1,02^2 = 1,0404 ; 1,02^3 = 1,061208 ; 1,02^4 = 1,08243216 ; 1,02^5 = 1,1040808032. Donc u_5 = 100 × 1,1040808032 = 110,40808032 €. Arrondi au centime : 110,41 €.
Cela montre comment les suites géométriques modélisent des phénomènes de croissance exponentielle.
Pièges à éviter et astuces pour le brevet
Voici les erreurs fréquentes que font les élèves en révision 3ème :
- Confondre suite arithmétique et géométrique : une suite arithmétique additionne un nombre constant (la différence), tandis qu'une suite géométrique multiplie par un nombre constant (la raison). Relis bien l'énoncé.
- Oublier de vérifier que la raison est constante : pour prouver qu'une suite est géométrique, il faut calculer plusieurs quotients, pas seulement un.
- Utiliser la mauvaise formule : si le premier terme est u_0, la formule est u_n = u_0 × q^n. Si c'est u_1, c'est u_n = u_1 × q^{n-1}. Vérifie toujours l'indice du premier terme.
- Se tromper dans les puissances : pour q^n, n est le nombre de multiplications par q. Par exemple, u_5 avec u_1 = 3 et q = 4 donne 3 × 4^4, car il y a 4 étapes entre u_1 et u_5.
- Ne pas simplifier les fractions : lorsque la raison est une fraction, garde le calcul exact, ne passe pas trop tôt à la calculatrice.
Pour t'entraîner, n'hésite pas à refaire les exemples de ton manuel et à consulter les fiches de révision sur ReviseMaths.
Exercices d'entraînement pour le brevet 2026
Voici trois exercices types pour t'entraîner. Prends le temps de chercher avant de regarder la correction.
Exercice 1
Soit la suite géométrique (w_n) définie par w_1 = 2 et q = -3. Calcule w_4.
Correction : w_4 = 2 × (-3)^{4-1} = 2 × (-3)^3 = 2 × (-27) = -54.
Exercice 2
La suite (v_n) a pour premiers termes : 7 ; 21 ; 63 ; 189. Montre qu'elle est géométrique et donne sa raison.
Correction : 21/7 = 3 ; 63/21 = 3 ; 189/63 = 3. Les quotients sont tous égaux à 3, donc la suite est géométrique de raison 3.
Exercice 3
Une population de bact��ries double toutes les heures. Au départ, il y a 500 bactéries. Combien y en aura-t-il après 6 heures ?
Correction : Si on note u_n la population après n heures, u_0 = 500 et q = 2. Après 6 heures, u_6 = 500 × 2^6 = 500 × 64 = 32 000 bactéries.
Ces exercices sont très proches de ce qui peut tomber au brevet. Pour plus d'entraînement, consulte les cours de maths et les ressources en ligne.
Les suites géométriques au lycée
Si tu poursuis en 2nde et en 1ère, tu reverras les suites géométriques avec plus de profondeur. Au lycée, on étudie notamment la somme des termes d'une suite géométrique, les variations, et le lien avec les fonctions exponentielles.
Par exemple, la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 est donnée par : S_n = u_0 × (1 - q^n) / (1 - q) (si le premier terme est u_0). Cette formule est très utile pour des problèmes de placements ou de remboursements.
Mais pour le brevet, retiens déjà la définition, la formule explicite et la méthode de reconnaissance. C'est la base indispensable.
Conclusion : pratique et réussite
Les suites géométriques ne sont pas si compliquées si tu comprends l'idée de multiplier par un même nombre. Avec la formule explicite, tu peux calculer n'importe quel terme rapidement. Pour réussir le brevet 2026, entraîne-toi régulièrement avec des exercices variés.
N'oublie pas : la clé, c'est la pratique. Refais les exemples, puis cherche des exercices supplémentaires sur ReviseMaths ou sur AlloBrevET. Tu es capable de maîtriser ce chapitre !
Bon courage et bonnes révisions !