Tu entends parler de second degré en cours de maths et tu te demandes ce que c'est ? Pas de panique : cette notion, étudiée en classe de 1re (spécialité maths), est essentielle pour résoudre des équations un peu plus complexes que celles du premier degré. Dans cet article, on va voir ensemble ce qu'est un polynôme du second degré, comment calculer son discriminant et résoudre une équation du type ax² + bx + c = 0. On va aussi détailler des exemples pas à pas, avec les calculs écrits clairement. À la fin, tu sauras tout pour réussir tes exercices !
Qu'est-ce qu'un polynôme du second degré ?
En second degré maths, on étudie les fonctions définies par une expression de la forme :
f(x) = ax² + bx + c
où a, b et c sont des nombres réels, avec a ≠ 0 (sinon ce ne serait plus du second degré, mais du premier degré).
Cette expression s'appelle un polynôme du second degré (ou trinôme). Le terme « second degré » vient du fait que la plus grande puissance de x est 2.
Voici quelques exemples :
- f(x) = 2x² + 3x - 5 : ici a = 2, b = 3, c = -5
- g(x) = -x² + 4x : a = -1, b = 4, c = 0 (le terme constant est nul)
- h(x) = x² - 9 : a = 1, b = 0, c = -9
On appelle racines (ou zéros) du polynôme les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0. Résoudre une équation du second degré, c'est trouver ces racines.
Le discriminant : la clé pour résoudre
Pour résoudre une équation du type ax² + bx + c = 0, on utilise un outil très pratique : le discriminant, noté Δ (delta). Sa formule est :
Δ = b² - 4ac
Ce nombre va nous dire combien de solutions (racines) possède l'équation, et comment les calculer.
Les trois cas possibles
Selon le signe de Δ, on a trois situations :
- Si Δ > 0 : l'équation a deux solutions réelles distinctes, données par :
x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a) - Si Δ = 0 : l'équation a une solution réelle double :
x₀ = -b / (2a) - Si Δ < 0 : l'équation n'a pas de solution réelle (elle a des solutions complexes, mais ce n'est pas au programme de 1re).
Ces formules sont à connaître par cœur. Mais surtout, il faut savoir les utiliser !
Méthode étape par étape pour résoudre une équation du second degré
Voici la démarche à suivre pour n'importe quelle équation du second degré :
- Identifie a, b et c : mets l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0, en faisant attention aux signes.
- Calcule le discriminant : Δ = b² - 4ac.
- Étudie le signe de Δ : positif, nul ou négatif ?
- Applique la formule correspondante pour trouver les solutions.
- Vérifie en remplaçant les solutions dans l'équation de départ (facultatif mais conseillé).
Cette méthode est toujours la même, que l'équation soit simple ou compliquée. L'important est de bien repérer les coefficients.
Exemples concrets résolus en détail
Exemple 1 : Δ > 0, deux solutions
Résolvons l'équation : 2x² + 3x - 5 = 0.
Ici, a = 2, b = 3, c = -5.
Calculons le discriminant :
Δ = 3² - 4 × 2 × (-5) = 9 + 40 = 49
Δ = 49 > 0, donc deux solutions :
x₁ = (-3 - √49) / (2 × 2) = (-3 - 7) / 4 = -10 / 4 = -2,5
x₂ = (-3 + 7) / 4 = 4 / 4 = 1
Les solutions sont donc x = -2,5 et x = 1.
Vérifions pour x = 1 : 2 × 1² + 3 × 1 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0. C'est bon !
Exemple 2 : Δ = 0, une solution double
Résolvons : x² - 6x + 9 = 0.
a = 1, b = -6, c = 9.
Δ = (-6)² - 4 × 1 × 9 = 36 - 36 = 0.
Δ = 0, donc une solution double :
x₀ = -(-6) / (2 × 1) = 6 / 2 = 3.
La solution est x = 3.
On peut vérifier : 3² - 6×3 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0.
Exemple 3 : Δ < 0, pas de solution réelle
Résolvons : x² + 2x + 5 = 0.
a = 1, b = 2, c = 5.
Δ = 2² - 4 × 1 × 5 = 4 - 20 = -16.
Δ < 0, donc pas de solution réelle. En 1re, on s'arrête là : l'équation n'a pas de racine réelle.
Cela signifie que la parabole représentant la fonction ne coupe jamais l'axe des abscisses.
Les pièges à éviter et nos conseils de révision
Quand tu fais des exercices sur le second degré maths, attention à ces erreurs fréquentes :
- Oublier le signe de b ou de c : par exemple, pour x² - 6x + 9, b = -6, pas 6. Une erreur de signe change tout le discriminant.
- Confondre les formules : Δ = b² - 4ac, et pas b² + 4ac ou autre chose. Apprends-la bien.
- Oublier que a ≠ 0 : si a = 0, l'équation devient du premier degré, et la méthode du discriminant ne s'applique pas.
- Se tromper dans le calcul de √Δ : si Δ = 49, √49 = 7. Si Δ n'est pas un carré parfait, laisse la racine telle quelle (par exemple √13).
- Ne pas simplifier les fractions : par exemple, (-3 - 7)/4 = -10/4 = -5/2. Pense à simplifier.
Comment bien réviser ?
Pour maîtriser le second degré, il n'y a pas de secret : il faut faire beaucoup d'exercices. Commence par des équations simples où a, b, c sont petits, puis augmente la difficulté.
Tu peux aussi t'entraîner à factoriser les polynômes une fois que tu as trouvé les racines : si x₁ et x₂ sont les racines, alors ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂). C'est très utile pour étudier le signe du trinôme.
N'oublie pas de revoir tes cours de maths sur le site https://www.revisemaths.fr/cours et de faire des exercices supplémentaires sur https://www.revisemaths.fr/exercices. Tu peux aussi consulter la page générale https://www.revisemaths.fr/maths pour d'autres ressources.
Conclusion : le second degré, c'est à ta portée !
Voilà, tu as maintenant toutes les clés pour comprendre le second degré et utiliser le discriminant pour résoudre des équations. C'est une notion centrale du programme de 1re, et elle te servira aussi en Terminale (par exemple pour étudier les fonctions du second degré, leurs variations, ou encore en lien avec les dérivées).
La méthode est toujours la même : identifie a, b, c, calcule Δ, regarde son signe, puis applique la formule. Avec un peu d'entraînement, tu verras que c'est mécanique et plutôt simple.
Alors, à toi de jouer ! Prends un papier, un crayon, et lance-toi dans quelques équations. N'hésite pas à revenir sur cet article si tu as un doute.
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