Objectifs de la leçon
- 1Calculer une probabilite conditionnelle
- 2Utiliser un arbre de probabilites
- 3Appliquer la formule des probabilites totales
Quelle est la probabilite de guerir si on a pris le medicament ? C'est une probabilite conditionnelle ! Les probabilites conditionnelles permettent de calculer la probabilite d'un evenement sachant qu'un autre est realise. Comment calculer la probabilite d'un evenement sachant qu'un autre a eu lieu ?
1Probabilite conditionnelle
**Definition :**
La **probabilite de B sachant A**, notee $P_A(B)$ ou $P(B|A)$, est :
$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
avec $P(A) \neq 0$.
**Interpretation :** C'est la probabilite que B se realise sachant que A s'est realise.
Probabilite conditionnelle
$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
2Arbre de probabilites
**Construction :**
1. Sur chaque branche, on ecrit la probabilite conditionnelle
2. Pour une intersection : on multiplie les probabilites le long du chemin
3. Pour une reunion disjointe : on additionne les probabilites des chemins
**Regles :**
- La somme des probabilites sur chaque noeud = 1
- $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$
Arbre
Intersection = produit des branches
3Formule des probabilites totales
**Theoreme :**
Si $A_1, A_2, ..., A_n$ forment une partition de l'univers :
$$P(B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) + P(A_2) \times P_{A_2}(B) + ... + P(A_n) \times P_{A_n}(B)$$
**Cas particulier (2 evenements) :**
$$P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B)$$
Probabilites totales
Somme des chemins menant a B
4Independance
**Definition :**
Deux evenements A et B sont **independants** si :
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
Equivalent a : $P_A(B) = P(B)$ (B ne depend pas de A)
**Attention :** Independance =/= incompatibilite !
Exemples résolus
Test medical
2% de la population est malade. Le test detecte 95% des malades (sensibilite) et donne 90% de negatifs chez les non-malades (specificite). Si le test est positif, quelle est la probabilite d'etre malade ?
1
Notations
M = malade, T+ = test positif
2
Donnees
$P(M) = 0,02$, $P_M(T+) = 0,95$, $P_{\bar{M}}(T+) = 0,10$
3
Prob totales
4
Bayes
Solution :
Si le test est positif, il y a seulement 16% de chances d'etre vraiment malade !
À retenir
- $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
- Arbre : on multiplie le long des branches
- Prob totales : on somme tous les chemins
- Independance : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$