Objectifs de la leçon
- 1Reconnaitre une loi normale
- 2Calculer des probabilites avec la loi normale
- 3Utiliser la table ou la calculatrice
La taille des adultes, les erreurs de mesure, les notes au bac... Beaucoup de phenomenes suivent une courbe en cloche ! La loi normale, aussi appelee loi de Gauss, est la distribution de probabilite la plus utilisee en statistiques. Comment calculer des probabilites avec une loi normale ?
1Loi normale centree reduite
**Definition :**
Une variable aleatoire $Z$ suit la **loi normale centree reduite** $\mathcal{N}(0, 1)$ si sa densite est :
$$f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}$$
**Proprietes :**
- Esperance : $E(Z) = 0$
- Ecart-type : $\sigma(Z) = 1$
- Courbe symetrique par rapport a l'axe des ordonnees
Loi N(0,1)
Esperance 0, ecart-type 1, courbe en cloche
2Loi normale generale
**Definition :**
Une variable $X$ suit la **loi normale** $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ si :
- Esperance : $E(X) = \mu$
- Ecart-type : $\sigma(X) = \sigma$
**Centrage-reduction :**
Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, alors $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$
Centrer-reduire
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
3Calcul de probabilites
**Avec la calculatrice :**
Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ :
- TI : `normalcdf(a, b, mu, sigma)`
- Casio : `NormCD(a, b, sigma, mu)`
**Valeurs remarquables pour N(0,1) :**
- $P(-1 < Z < 1) \approx 0,68$ (68%)
- $P(-2 < Z < 2) \approx 0,95$ (95%)
- $P(-3 < Z < 3) \approx 0,997$ (99,7%)
Regle 68-95-99,7
68% a 1$\sigma$, 95% a 2$\sigma$, 99,7% a 3$\sigma$
4Intervalle de fluctuation
**Intervalle a 95% :**
Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ :
$$P(\mu - 1,96\sigma < X < \mu + 1,96\sigma) \approx 0,95$$
**Interpretation :** 95% des valeurs sont dans l'intervalle $[\mu - 1,96\sigma ; \mu + 1,96\sigma]$
Exemples résolus
Taille des adultes
La taille des hommes adultes suit une loi $\mathcal{N}(175, 36)$ (en cm, $\sigma = 6$). Quelle est la probabilite qu'un homme mesure entre 169 et 181 cm ?
1
Identifier
$\mu = 175$, $\sigma = 6$
2
Observation
$169 = 175 - 6 = \mu - \sigma$ et $181 = 175 + 6 = \mu + \sigma$
3
Regle
Solution :
Environ 68% des hommes mesurent entre 169 cm et 181 cm.
Centrage-reduction
Si $X \sim \mathcal{N}(50, 100)$ ($\sigma = 10$), calculer $P(X < 65)$.
1
Centrer-reduire
$Z = \frac{X - 50}{10}$
2
Transformer
3
Table ou calculatrice
Solution :
$P(X < 65) \approx 0,93$ soit 93%
À retenir
- $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ : courbe en cloche centree en $\mu$
- Centrer-reduire : $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
- 68% a $\pm 1\sigma$, 95% a $\pm 2\sigma$
- Utiliser la calculatrice pour les probabilites