Objectifs de la leçon
- 1Connaitre les proprietes de la fonction exponentielle
- 2Utiliser les proprietes algebriques de exp
- 3Etudier des fonctions avec exponentielle
La croissance d'une population de bacteries, la decroissance radioactive, les interets composes... Tout cela suit une loi exponentielle ! La fonction exponentielle modelise les phenomenes de croissance ou decroissance proportionnelle a la quantite presente. Quelles sont les proprietes de cette fonction si particuliere ?
1Definition et proprietes
**Definition :**
La fonction **exponentielle**, notee $\exp$ ou $e^x$, est l'unique fonction definie sur $\mathbb{R}$ telle que :
- $\exp'(x) = \exp(x)$ (elle est egale a sa derivee)
- $\exp(0) = 1$
**Nombre e :**
$$e = \exp(1) \approx 2,718$$
Exponentielle
$\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(0) = 1$
2Proprietes algebriques
**Proprietes fondamentales :**
Pour tous reels $a$ et $b$ :
- $e^{a+b} = e^a \times e^b$
- $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
- $(e^a)^n = e^{na}$
- $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$
**Valeurs particulieres :**
- $e^0 = 1$
- $e^1 = e \approx 2,718$
Proprietes de exp
$e^{a+b} = e^a \times e^b$
3Etude de la fonction
**Variations :**
- $\exp'(x) = \exp(x) > 0$ pour tout $x$
- Donc $\exp$ est **strictement croissante** sur $\mathbb{R}$
**Limites :**
- $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
- $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
**Signe :**
- $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
Variations
$e^x > 0$ et croissante sur $\mathbb{R}$
4Derivation avec exp
**Derivee de $e^{u(x)}$ :**
Si $u$ est une fonction derivable :
$$\left( e^{u} \right)' = u' \times e^{u}$$
**Exemples :**
- $(e^{2x})' = 2e^{2x}$
- $(e^{-x})' = -e^{-x}$
- $(e^{x^2})' = 2x \cdot e^{x^2}$
Derivee composee
$(e^u)' = u' \times e^u$
Exemples résolus
Simplifier une expression
Simplifier $A = \frac{e^5 \times e^{-2}}{e^2}$
1
Numerateur
$e^5 \times e^{-2} = e^{5-2} = e^3$
2
Division
Solution :
$A = e$
Etude de fonction
Soit $f(x) = xe^{-x}$. Etudier ses variations.
1
Derivee (produit)
$f'(x) = 1 \times e^{-x} + x \times (-e^{-x})$
2
Factoriser
3
Signe
$e^{-x} > 0$ toujours, donc signe de $f'(x)$ = signe de $(1-x)$
4
Conclusion
Solution :
$f$ croissante sur $]-\infty; 1]$, decroissante sur $[1; +\infty[$, maximum en $x=1$
À retenir
- $e^x$ est sa propre derivee
- $e^{a+b} = e^a \times e^b$
- $e^x > 0$ et croissante sur $\mathbb{R}$
- $(e^u)' = u' e^u$