Loi normale

La variable $Z$ suit la loi normale **centrée réduite** $\mathcal{N}(0,1)$ si : - Espérance $E(Z) = 0$ - Écart-type $\sigma(Z) = 1$ Sa densité est la courbe en cloche : $f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}$

On utilise la calculatrice ou les tables. $P(Z \leq a)$ se lit directement. $P(Z \geq a) = 1 - P(Z \leq a)$ $P(a \leq Z \leq b) = P(Z \leq b) - P(Z \leq a)$ Valeurs utiles : - $P(-1 \leq Z \leq 1) \approx 0,68$ - $P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 0,95$ - $P(-3 \leq Z \leq 3) \approx 0,997$

Une variable $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ si : - Espérance $E(X) = \mu$ - Écart-type $\sigma(X) = \sigma$ **Centrage-réduction** : $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ suit $\mathcal{N}(0,1)$

Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ : L'intervalle $[\mu - 1,96\sigma ; \mu + 1,96\sigma]$ contient environ **95%** des valeurs. L'intervalle $[\mu - 2,58\sigma ; \mu + 2,58\sigma]$ contient environ **99%** des valeurs.

Si $X_n \sim \mathcal{B}(n, p)$ avec $n$ grand et $np \geq 5$, $n(1-p) \geq 5$, alors : $X_n$ est approximativement $\mathcal{N}(np, \sqrt{np(1-p)})$ Cela permet d'approcher une loi binomiale par une loi normale.