Objectifs de la leçon
- 1Reconnaître un schéma de Bernoulli
- 2Calculer avec la loi binomiale
- 3Utiliser espérance et écart-type
Lancer 10 fois une pièce : combien de pile en moyenne ? La loi binomiale répond ! 🪙 La loi binomiale modélise la répétition d'expériences aléatoires indépendantes. Comment calculer des probabilités avec la loi binomiale ?
1Épreuve de Bernoulli
Une **épreuve de Bernoulli** a seulement 2 issues :
- **Succès (S)** avec probabilité $p$
- **Échec (E)** avec probabilité $q = 1 - p$
**Exemples :**
- Lancer une pièce : Pile (S) ou Face (E)
- QCM : Bonne réponse (S) ou Mauvaise (E)
2Schéma de Bernoulli
Un **schéma de Bernoulli** est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli **indépendantes**.
**Variable aléatoire $X$ :** nombre de succès parmi les $n$ épreuves.
$X$ suit la **loi binomiale** de paramètres $n$ et $p$ :
$X \sim \mathcal{B}(n, p)$
Loi binomiale
$X \sim \mathcal{B}(n, p)$ : n répétitions, proba succès p
3Formule
Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, alors :
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
avec $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (coefficient binomial)
**Paramètres :**
- **Espérance :** $E(X) = np$
- **Variance :** $V(X) = np(1-p)$
- **Écart-type :** $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$
Espérance
$E(X) = np$
Exemples résolus
10 lancers de pièce
On lance 10 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 6 piles ?
1
Identifier
$X \sim \mathcal{B}(10, 0.5)$
2
Calculer
3
Résultat
Solution :
$P(X=6) ≈ 0.205$ soit environ 20.5%
À retenir
- Bernoulli : 2 issues (succès/échec)
- $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ : n répétitions indépendantes
- $P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}$
- $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$