Objectifs de la leçon
- 1Calculer une intégrale
- 2Interpréter géométriquement l'intégrale
- 3Utiliser les primitives
Calculer l'aire sous une courbe ? L'intégrale le fait automatiquement ! 📐 L'intégration est l'opération inverse de la dérivation. Comment calculer une intégrale et à quoi sert-elle ?
1Primitives
Une **primitive** de $f$ est une fonction $F$ telle que $F' = f$.
**Primitives usuelles :**
| $f(x)$ | $F(x)$ |
|--------|--------|
| $k$ | $kx$ |
| $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln|x|$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ |
**Note :** Si $F$ est une primitive de $f$, alors $F + C$ aussi (constante).
Primitive
$F' = f$ ⟺ $F$ est primitive de $f$
2Définition de l'intégrale
L'**intégrale de $f$ de $a$ à $b$** est :
$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b$$
où $F$ est une primitive de $f$.
**Interprétation géométrique :**
Si $f \geq 0$ sur $[a;b]$, alors $\int_a^b f(x) \, dx$ = aire sous la courbe.
Intégrale
$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$
3Propriétés
**Linéarité :**
$\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g$
$\int_a^b kf = k \int_a^b f$
**Relation de Chasles :**
$\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$
**Bornes inversées :**
$\int_a^b f = -\int_b^a f$
**Valeur moyenne :**
$\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$
Exemples résolus
Calculer $\int_0^2 3x^2 \, dx$
Calculer l'intégrale
1
Primitive
Primitive de $3x^2$ : $F(x) = x^3$
2
Appliquer
Solution :
$\int_0^2 3x^2 \, dx = 8$
À retenir
- Primitive : $F' = f$
- $\int_a^b f = F(b) - F(a)$
- Interprétation : aire sous la courbe
- Linéarité et Chasles