Objectifs de la leçon
- 1Définir la continuité
- 2Utiliser le TVI
- 3Étudier des fonctions continues
Une fonction continue peut-elle 'sauter' d'une valeur à une autre ? La continuité formalise l'idée intuitive d'une courbe qu'on peut tracer sans lever le crayon. Comment caractériser et utiliser la continuité d'une fonction ?
1Définition de la continuité en un point
Une fonction $f$ est **continue en $a$** si :
$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$
Autrement dit :
- La limite existe
- $f(a)$ est définie
- Les deux sont égales
Exemple
$f(x) = x^2$ est-elle continue en 2 ?
Solution :
$\lim_{x \to 2} x^2 = 4 = f(2)$. Oui, f est continue en 2.
2Continuité sur un intervalle
Une fonction est **continue sur un intervalle I** si elle est continue en tout point de I.
Fonctions usuelles continues sur leur ensemble de définition :
- Polynômes
- Fonctions rationnelles
- $\sqrt{x}$, $e^x$, $\ln(x)$
- sin, cos, tan (sur leur domaine)
3Prolongement par continuité
Si $\lim_{x \to a} f(x) = l$ existe mais $f(a)$ n'est pas définie, on peut **prolonger** $f$ par continuité en posant $f(a) = l$.
Exemple
$f(x) = \frac{\sin x}{x}$ pour $x \neq 0$. Prolongement en 0 ?
Solution :
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. On pose $f(0) = 1$.
4Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Si $f$ est **continue sur $[a;b]$** et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un $c \in [a;b]$ tel que $f(c) = k$.
**Corollaire (existence de solutions)** :
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de **signes contraires**, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a;b[$.
5Corollaire : bijection
Si $f$ est **continue et strictement monotone** sur $[a;b]$, alors $f$ réalise une **bijection** de $[a;b]$ vers $[f(a);f(b)]$ (ou $[f(b);f(a)]$).
Conséquence : l'équation $f(x) = k$ a **une unique solution** pour tout $k$ dans l'image.
Exemple
Montrer que $x^3 + x - 1 = 0$ a une unique solution sur $\mathbb{R}$
Solution :
$f(x) = x^3 + x - 1$ est continue et strictement croissante. $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$. Par TVI, il existe une unique solution dans $]0;1[$.
À retenir
- Continuité en a : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
- Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine
- TVI : une fonction continue prend toutes les valeurs intermédiaires
- Continue + strictement monotone = bijection