Progression0 / 10
1Démontre par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
1
$1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$
5 points
2
$2^n \geq n + 1$
5 points
2Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$
1
Calcule $u_1$, $u_2$, $u_3$
2 points
2
Conjecture la limite
2 points
3
Soit $v_n = u_n - 2$. Montre que $(v_n)$ est géométrique
4 points
4
En déduire $u_n$ et sa limite
4 points
3Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$
1
Montre par récurrence que $u_n > 3$ pour tout n
4 points
2
Étudie les variations de $f(x) = \sqrt{2x + 3}$ sur $]3; +\infty[$
3 points
3
Montre que $(u_n)$ est décroissante (récurrence)
4 points
4
Déduis-en la convergence et calcule la limite
5 points