Objectifs de la leçon
- 1Définir une fonction et son ensemble de définition
- 2Déterminer image et antécédent
- 3Lire et interpréter un tableau de variations
- 4Reconnaître maximum, minimum et extremum
Une fonction, c'est comme une machine : tu entres un nombre, elle en sort un autre. Simple, non ? 🎰 Les fonctions sont au coeur des mathématiques et permettent de modéliser de nombreux phénomènes. Comment décrire et analyser le comportement d'une fonction ?
1Définition d'une fonction
Une **fonction** $f$ définie sur un ensemble $D$ est une relation qui à chaque nombre $x$ de $D$ associe **un unique** nombre noté $f(x)$.
**Notations :**
- $f : x \mapsto f(x)$ (se lit 'f qui à x associe f de x')
- $D_f$ = ensemble de définition de $f$
**Vocabulaire :**
- $x$ : variable (ou antécédent)
- $f(x)$ : image de $x$ par $f$
Fonction
Une fonction associe à chaque nombre de son ensemble de définition une unique image
2Image et antécédent
**Image :**
Si $f(a) = b$, alors $b$ est l'**image** de $a$ par $f$.
**Antécédent :**
Si $f(a) = b$, alors $a$ est **un antécédent** de $b$ par $f$.
⚠️ Un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun), mais il n'a qu'une seule image.
Graphiquement
Image : on lit sur l'axe des y | Antécédent : on lit sur l'axe des x
3Ensemble de définition
L'**ensemble de définition** $D_f$ est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe.
**Restrictions fréquentes :**
- Division : le dénominateur ne doit pas être nul
- Racine carrée : l'expression sous la racine doit être positive ou nulle
**Exemples :**
- $f(x) = \frac{1}{x}$ → $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
- $g(x) = \sqrt{x}$ → $D_g = [0; +\infty[$
4Sens de variation
Sur un intervalle $I$ :
**Fonction croissante :**
Si $x_1 < x_2$ alors $f(x_1) \leq f(x_2)$
→ Quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente (ou reste constant)
**Fonction décroissante :**
Si $x_1 < x_2$ alors $f(x_1) \geq f(x_2)$
→ Quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue (ou reste constant)
Sens de variation
Croissante : la courbe monte | Décroissante : la courbe descend
5Tableau de variations
Le **tableau de variations** résume le comportement d'une fonction :
```
x | -∞ a b +∞
------+-------------------------------
f(x) | ↗ max ↘
| -∞ → f(a) → f(b) → +∞
```
- Première ligne : valeurs de $x$
- Deuxième ligne : variations de $f$ (flèches) et valeurs importantes
6Extremum d'une fonction
**Maximum :**
$f$ admet un **maximum** en $a$ si pour tout $x$ de $D_f$ : $f(x) \leq f(a)$
**Minimum :**
$f$ admet un **minimum** en $a$ si pour tout $x$ de $D_f$ : $f(x) \geq f(a)$
**Extremum** = maximum ou minimum
Maximum local vs global
Un maximum peut être local (sur un intervalle) ou global (sur tout $D_f$)
Exemples résolus
Déterminer image et antécédent
Soit $f(x) = x^2 - 4$. Calcule $f(3)$ et trouve les antécédents de 0.
1
Image de 3
2
Antécédents de 0
Solution :
L'image de 3 est 5. Les antécédents de 0 sont -2 et 2.
À retenir
- Fonction : à chaque x, on associe une unique image f(x)
- Image = f(x), Antécédent = x tel que f(x) = y
- Ensemble de définition = valeurs de x où f existe
- Croissante : f(x) augmente quand x augmente
- Tableau de variations : résume le comportement de f
Erreurs à éviter
- ✗Confondre image et antécédent
- ✗Oublier les restrictions du domaine de définition