Objectifs de la leçon
- 1Reconnaitre une suite arithmetique
- 2Reconnaitre une suite geometrique
- 3Calculer le terme general et la somme
Les interets de votre livret A, le remboursement d'un pret... Tout cela se calcule avec des suites ! Une suite est une liste ordonnee de nombres. Les suites arithmetiques et geometriques ont des proprietes remarquables. Comment calculer n'importe quel terme d'une suite ?
1Suite arithmetique
**Definition :**
Une suite $(u_n)$ est **arithmetique** si chaque terme s'obtient en ajoutant une constante $r$ au terme precedent :
$$u_{n+1} = u_n + r$$
ou $r$ est la **raison** de la suite.
**Terme general :**
$$u_n = u_0 + n \times r$$
Ou si on connait $u_p$ :
$$u_n = u_p + (n-p) \times r$$
Suite arithmetique
$u_{n+1} = u_n + r$ et $u_n = u_0 + nr$
2Suite geometrique
**Definition :**
Une suite $(u_n)$ est **geometrique** si chaque terme s'obtient en multipliant le terme precedent par une constante $q$ :
$$u_{n+1} = u_n \times q$$
ou $q$ est la **raison** de la suite.
**Terme general :**
$$u_n = u_0 \times q^n$$
Ou si on connait $u_p$ :
$$u_n = u_p \times q^{n-p}$$
Suite geometrique
$u_{n+1} = u_n \times q$ et $u_n = u_0 \times q^n$
3Somme des termes
**Somme d'une suite arithmetique :**
$$S = u_0 + u_1 + ... + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$
C'est (nombre de termes) x (moyenne des extremes)
**Somme d'une suite geometrique ($q \neq 1$) :**
$$S = u_0 + u_1 + ... + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$
Somme geometrique
$S = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$
4Applications financieres
**Interets simples (suite arithmetique) :**
Capital $C$, taux annuel $t$ : $C_n = C_0 + n \times C_0 \times t$
**Interets composes (suite geometrique) :**
Capital $C$, taux annuel $t$ : $C_n = C_0 \times (1+t)^n$
**Exemple :** 1000 euros a 3% pendant 5 ans :
$C_5 = 1000 \times 1,03^5 \approx 1159$ euros
Exemples résolus
Suite arithmetique
$(u_n)$ est arithmetique avec $u_2 = 7$ et $r = 3$. Calculer $u_0$ et $u_{10}$.
1
Trouver $u_0$
$u_2 = u_0 + 2r$ donc $7 = u_0 + 6$ donc $u_0 = 1$
2
Calculer $u_{10}$
Solution :
$u_0 = 1$ et $u_{10} = 31$
Suite geometrique
$(v_n)$ est geometrique avec $v_0 = 100$ et $q = 0,9$. Calculer $v_5$.
1
Formule
$v_n = v_0 \times q^n$
2
Application
Solution :
$v_5 \approx 59$
À retenir
- Arithmetique : on ajoute $r$ ($u_n = u_0 + nr$)
- Geometrique : on multiplie par $q$ ($u_n = u_0 \times q^n$)
- Interets composes : suite geometrique de raison $1+t$
- Somme arith : $(n+1) \times$ moyenne des extremes