Objectifs de la leçon
- 1Calculer la moyenne d'une serie statistique
- 2Determiner la mediane et les quartiles
- 3Calculer et interpreter l'ecart-type
Quelle est la note moyenne de la classe ? Quel salaire gagne la moitie des employes ? Les statistiques repondent a ces questions ! Les statistiques permettent de resumer et analyser des donnees numeriques. Comment decrire une serie statistique avec quelques indicateurs ?
1Moyenne
**Moyenne ponderee :**
Si les valeurs $x_1, x_2, ..., x_p$ ont les effectifs $n_1, n_2, ..., n_p$ :
$$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + ... + n_p x_p}{n_1 + n_2 + ... + n_p} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$$
ou $N$ est l'effectif total.
Moyenne
$\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$
2Mediane et quartiles
**Mediane (Me) :**
Valeur qui partage la serie ordonnee en deux parties de meme effectif.
- 50% des valeurs sont inferieures a Me
- 50% sont superieures a Me
**Quartiles :**
- $Q_1$ : 25% des valeurs sont inferieures
- $Q_3$ : 75% des valeurs sont inferieures
**Ecart interquartile :** $IQR = Q_3 - Q_1$
Quartiles
$Q_1$ (25%), $Me$ (50%), $Q_3$ (75%)
3Ecart-type
**Variance :**
$$V = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$$
Ou avec la formule de Koenig-Huygens :
$$V = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2$$
**Ecart-type :**
$$\sigma = \sqrt{V}$$
**Interpretation :** Plus $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont dispersees autour de la moyenne.
Ecart-type
$\sigma = \sqrt{V}$
4Boite a moustaches
**Diagramme en boite :**
Represente les 5 indicateurs de position :
- Minimum
- $Q_1$ (1er quartile)
- $Me$ (Mediane)
- $Q_3$ (3eme quartile)
- Maximum
**Lecture :** La boite contient 50% des donnees centrales.
Exemples résolus
Calcul de moyenne et ecart-type
Notes d'un controle : 8, 10, 10, 12, 12, 12, 14, 15, 17. Calculer la moyenne et l'ecart-type.
1
Effectif total
$N = 9$
2
Somme des notes
$8+10+10+12+12+12+14+15+17 = 110$
3
Moyenne
4
Somme des carres
$64+100+100+144+144+144+196+225+289 = 1406$
5
Variance
6
Ecart-type
Solution :
Moyenne = 12,2 et ecart-type = 2,7
À retenir
- Moyenne : $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$
- Mediane : partage la serie en 2 moities egales
- Variance : $V = \overline{x^2} - \bar{x}^2$
- Ecart-type : $\sigma = \sqrt{V}$ (dispersion)