Objectifs de la leçon
- 1Reconnaître une suite géométrique
- 2Calculer le terme général
- 3Calculer la somme des termes
2, 6, 18, 54... Quel est le terme suivant ? Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par le même nombre. Comment caractériser et utiliser les suites géométriques ?
1Définition
Une suite $(u_n)$ est **géométrique** s'il existe un réel $q \neq 0$ tel que pour tout $n$ :
$$u_{n+1} = u_n \times q$$
Le réel $q$ s'appelle la **raison** de la suite.
Exemple
$(u_n)$ : 3, 6, 12, 24, ... Est-ce géométrique ?
Solution :
Oui, car $\frac{6}{3} = \frac{12}{6} = \frac{24}{12} = 2$. Raison $q = 2$.
2Terme général
Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ :
$$u_n = u_0 \times q^n$$
Si le premier terme est $u_1$ :
$$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$
Exemple
$u_0 = 5$ et $q = 2$. Calcule $u_6$.
Solution :
$u_6 = 5 \times 2^6 = 5 \times 64 = 320$
3Sens de variation (termes positifs)
Si $u_0 > 0$ :
| Si... | Alors la suite est... |
|-------|----------------------|
| $q > 1$ | **croissante** |
| $0 < q < 1$ | **décroissante** |
| $q < 0$ | **pas monotone** (alternée) |
4Somme des termes
La somme des $n+1$ premiers termes (si $q \neq 1$) est :
$$S = u_0 + u_1 + ... + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$
Cas particulier : $1 + q + q^2 + ... + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$
Exemple
Calcule $1 + 2 + 4 + 8 + ... + 1024$
Solution :
$q = 2$, 11 termes (de $2^0$ à $2^{10}$)
$S = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \frac{1 - 2048}{-1} = 2047$
5Limite (si $|q| < 1$)
Si $|q| < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$
Donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ (la suite tend vers 0)
Somme à l'infini : $u_0 + u_1 + u_2 + ... = \frac{u_0}{1 - q}$ (si $|q| < 1$)
À retenir
- $u_{n+1} = u_n \times q$ (définition récurrente)
- $u_n = u_0 \times q^n$ (terme général)
- Somme = $u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ (si $q \neq 1$)
- Si $|q| < 1$, limite = 0