Objectifs de la leçon
- 1Reconnaître une suite arithmétique
- 2Calculer le terme général
- 3Calculer la somme des termes
1, 4, 7, 10, 13... Quel est le terme suivant ? Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant. Comment caractériser et utiliser les suites arithmétiques ?
1Définition
Une suite $(u_n)$ est **arithmétique** s'il existe un réel $r$ tel que pour tout $n$ :
$$u_{n+1} = u_n + r$$
Le réel $r$ s'appelle la **raison** de la suite.
Exemple
$(u_n)$ : 3, 7, 11, 15, ... Est-ce arithmétique ?
Solution :
Oui, car $7-3 = 11-7 = 15-11 = 4$. Raison $r = 4$.
2Terme général
Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ :
$$u_n = u_0 + n \times r$$
Si le premier terme est $u_1$ :
$$u_n = u_1 + (n-1) \times r$$
Exemple
$u_0 = 5$ et $r = 3$. Calcule $u_{10}$.
Solution :
$u_{10} = 5 + 10 \times 3 = 35$
3Sens de variation
| Si... | Alors la suite est... |
|-------|----------------------|
| $r > 0$ | **croissante** |
| $r < 0$ | **décroissante** |
| $r = 0$ | **constante** |
Exemple
$u_n = 100 - 3n$. Sens de variation ?
Solution :
$r = -3 < 0$ donc suite décroissante
4Somme des termes
La somme des $n+1$ premiers termes est :
$$S = u_0 + u_1 + ... + u_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$$
Ou encore : $(\text{nombre de termes}) \times \frac{(\text{premier} + \text{dernier})}{2}$
Exemple
Calcule $1 + 2 + 3 + ... + 100$
Solution :
$S = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$
5Représentation graphique
Les points $(n; u_n)$ sont **alignés** sur une droite.
L'équation de cette droite est $y = rx + u_0$
(pente = raison, ordonnée à l'origine = premier terme)
À retenir
- $u_{n+1} = u_n + r$ (définition récurrente)
- $u_n = u_0 + nr$ (terme général)
- Somme = $\frac{(\text{nb termes})(\text{premier + dernier})}{2}$
- Points alignés sur une droite