Objectifs de la leçon
- 1Comprendre la notion de probabilité conditionnelle
- 2Utiliser les arbres pondérés
- 3Appliquer les formules
Quelle est la probabilité qu'il pleuve demain, sachant qu'il a plu aujourd'hui ? Les probabilités conditionnelles permettent de calculer des probabilités quand on dispose d'une information. Comment calculer une probabilité quand on sait qu'un événement s'est déjà produit ?
1Définition
Soit A et B deux événements avec $P(A) \neq 0$.
La **probabilité conditionnelle** de B sachant A, notée $P_A(B)$ ou $P(B|A)$, est :
$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
C'est la probabilité de B quand on sait que A s'est réalisé.
Exemple
Dans une classe, 60% des élèves font du sport. Parmi eux, 40% font du foot. P(foot sachant sport) ?
Solution :
$P_{sport}(foot) = 0,4$ (directement donné dans l'énoncé)
2Formule des probabilités composées
De la définition, on déduit :
$$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$$
Ou de manière équivalente :
$$P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A)$$
Exemple
P(sport) = 0,6 et P(foot|sport) = 0,4. P(sport ET foot) ?
Solution :
$P(sport \cap foot) = 0,6 \times 0,4 = 0,24$
3Arbres pondérés
Un **arbre pondéré** représente les probabilités conditionnelles :
- Chaque branche porte une probabilité
- Pour un chemin : on **multiplie** les probabilités
- Pour des chemins disjoints vers le même résultat : on **additionne**
La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1.
4Formule des probabilités totales
Si $A_1, A_2, ..., A_n$ forment une **partition** de l'univers, alors pour tout événement B :
$$P(B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) + P(A_2) \times P_{A_2}(B) + ... + P(A_n) \times P_{A_n}(B)$$
On somme sur tous les chemins menant à B.
Exemple
Avec 60% sportifs (40% font foot) et 40% non-sportifs (10% font foot). P(foot) ?
Solution :
$P(foot) = 0,6 \times 0,4 + 0,4 \times 0,1 = 0,24 + 0,04 = 0,28$
5Indépendance
Deux événements A et B sont **indépendants** si :
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
Équivalent à : $P_A(B) = P(B)$ (savoir A ne change rien pour B)
Exemple
Lancer un dé et une pièce. Les résultats sont-ils indépendants ?
Solution :
Oui ! Le résultat du dé n'influence pas celui de la pièce.
À retenir
- $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
- $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$
- Arbre : on multiplie sur un chemin, on additionne les chemins
- Indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$