Objectifs de la leçon
- 1Calculer la dérivée d'une fonction
- 2Utiliser les formules de dérivation
- 3Étudier le signe de la dérivée
La vitesse instantanée d'une voiture, c'est une dérivée ! La dérivation mesure la vitesse de variation. 🚗 La dérivée mesure comment une fonction varie localement. Comment calculer et utiliser la dérivée d'une fonction ?
1Nombre dérivé
Le **nombre dérivé** de $f$ en $a$ est :
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
C'est le **coefficient directeur de la tangente** à la courbe au point d'abscisse $a$.
**Interprétation :** $f'(a)$ = vitesse de variation de $f$ en $a$
Nombre dérivé
$f'(a) = $ pente de la tangente en $a$
2Formules de dérivation
**Fonctions usuelles :**
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|--------|--------|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^2$ | $2x$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
**Opérations :**
- $(u + v)' = u' + v'$
- $(ku)' = ku'$
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
Dérivées usuelles
$(x^n)' = nx^{n-1}$
3Dérivée et variations
**Lien avec les variations :**
- $f'(x) > 0$ sur $I$ ⟹ $f$ **croissante** sur $I$
- $f'(x) < 0$ sur $I$ ⟹ $f$ **décroissante** sur $I$
- $f'(x) = 0$ sur $I$ ⟹ $f$ **constante** sur $I$
**Méthode d'étude :**
1. Calculer $f'(x)$
2. Résoudre $f'(x) = 0$
3. Étudier le signe de $f'(x)$
4. Dresser le tableau de variations
Exemples résolus
Dériver $f(x) = 2x^3 - 5x + 1$
Calculer $f'(x)$
1
Dériver chaque terme
$(2x^3)' = 2 \times 3x^2 = 6x^2$
2
Continuer
$(-5x)' = -5$, $(1)' = 0$
3
Assembler
Solution :
$f'(x) = 6x^2 - 5$
À retenir
- $f'(a)$ = pente de la tangente en $a$
- $(x^n)' = nx^{n-1}$
- $f' > 0$ ⟹ $f$ croissante
- $f' < 0$ ⟹ $f$ décroissante