Objectifs de la leçon
- 1Connaître les propriétés des triangles
- 2Construire des triangles
- 3Utiliser l'inégalité triangulaire
Le triangle est la figure géométrique la plus solide ! C'est pourquoi on l'utilise dans les constructions. Un triangle est un polygone à 3 côtés et 3 angles avec des propriétés remarquables. Quelles sont les propriétés fondamentales des triangles ?
1Définition et vocabulaire
Un **triangle** est un polygone à 3 côtés, 3 sommets et 3 angles.
Triangle ABC :
- Sommets : A, B, C
- Côtés : [AB], [BC], [CA]
- Angles : $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$
2Somme des angles
**Propriété fondamentale** : La somme des angles d'un triangle est égale à **180°**.
$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$
Exemple : Si $\widehat{A} = 60°$ et $\widehat{B} = 80°$, alors $\widehat{C} = 180° - 60° - 80° = 40°$
Exemple
Dans un triangle, deux angles mesurent 55° et 75°. Calcule le troisième.
Solution : $180° - 55° - 75° = 50°$
3Types de triangles (selon les côtés)
| Type | Définition | Particularité |
|------|------------|---------------|
| **Scalène** | 3 côtés différents | Aucun côté égal |
| **Isocèle** | 2 côtés égaux | 2 angles égaux |
| **Équilatéral** | 3 côtés égaux | 3 angles de 60° |
4Types de triangles (selon les angles)
| Type | Définition |
|------|------------|
| **Rectangle** | Un angle droit (90°) |
| **Acutangle** | 3 angles aigus (< 90°) |
| **Obtusangle** | Un angle obtus (> 90°) |
5Inégalité triangulaire
**Propriété** : Dans un triangle, chaque côté est **plus petit** que la somme des deux autres.
Pour un triangle de côtés a, b, c :
- $a < b + c$
- $b < a + c$
- $c < a + b$
Si cette condition n'est pas vérifiée, le triangle n'existe pas !
Exemple
Peut-on construire un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 8 cm ?
Solution : Non car $3 + 4 = 7 < 8$. L'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée.
6Construire un triangle
Pour construire un triangle connaissant 3 côtés :
1. Tracer le plus grand côté
2. Avec le compas, tracer un arc depuis chaque extrémité
3. Le point d'intersection donne le 3ème sommet
À retenir
- Somme des angles = 180°
- Triangle isocèle : 2 côtés (et 2 angles) égaux
- Triangle équilatéral : 3 côtés égaux, 3 angles de 60°
- Inégalité triangulaire : chaque côté < somme des 2 autres