Leçon • nombres

Opérations sur les fractions

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Objectifs de la leçon

1Multiplier des fractions
2Diviser des fractions
3Résoudre des problèmes avec fractions

Prendre les 2/3 de 3/4 d'une pizza, c'est multiplier des fractions ! En 4e, on apprend à multiplier et diviser des fractions. Comment multiplier et diviser des fractions ?

1Multiplier deux fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$ Exemple : $$\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{2 \times 5}{3 \times 7} = \frac{10}{21}$$

Exemple

Calcule $\frac{3}{4} \times \frac{8}{9}$

Solution : On simplifie d'abord : $\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$ Ou mieux : $\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{1}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ (en simplifiant 3/9 et 8/4)

2L'inverse d'une fraction

L'**inverse** d'une fraction $\frac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$) est la fraction $\frac{b}{a}$. On l'obtient en "retournant" la fraction. Exemples : - L'inverse de $\frac{3}{5}$ est $\frac{5}{3}$ - L'inverse de $4 = \frac{4}{1}$ est $\frac{1}{4}$ - L'inverse de $\frac{7}{2}$ est $\frac{2}{7}$ **Propriété** : Un nombre multiplié par son inverse donne 1. $\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{15}{15} = 1$

Exemple

Trouve l'inverse de $\frac{2}{9}$

Solution : L'inverse de $\frac{2}{9}$ est $\frac{9}{2}$

3Diviser par une fraction

Diviser par une fraction, c'est **multiplier par son inverse** : $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$ Exemple : $$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$$

Exemple

Calcule $\frac{5}{6} \div \frac{10}{9}$

Solution : $\frac{5}{6} \div \frac{10}{9} = \frac{5}{6} \times \frac{9}{10} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

4Simplifier avant de calculer

Pour éviter les grands nombres, on peut simplifier **en diagonale** : $\frac{4}{9} \times \frac{3}{8}$ On voit que 4 et 8 ont un facteur commun (4) et 3 et 9 aussi (3) : $= \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{9}^3} \times \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{8}^2} = \frac{1 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{6}$

Exemple

Calcule $\frac{6}{25} \times \frac{15}{18}$

Solution : Simplification : 6 et 18 (÷6), 15 et 25 (÷5) $= \frac{1}{5} \times \frac{3}{3} = \frac{1}{5}$

À retenir

Multiplication : numérateurs × numérateurs, dénominateurs × dénominateurs
Inverse de $\frac{a}{b}$ = $\frac{b}{a}$
Division = multiplication par l'inverse
Toujours simplifier pour faciliter les calculs

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