Objectifs de la leçon
- 1Énoncer le théorème de Pythagore
- 2Calculer la longueur de l'hypoténuse
- 3Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
- 4Utiliser la réciproque pour prouver qu'un triangle est rectangle
Comment calculer une distance qu'on ne peut pas mesurer directement ? Le théorème de Pythagore est l'un des plus célèbres et utiles de l'histoire des maths ! 📐 Ce théorème, connu depuis plus de 2500 ans, est utilisé partout : en architecture, en navigation, dans les jeux vidéo... Comment trouver une longueur dans un triangle rectangle ?
1L'hypoténuse
Dans un triangle rectangle, le côté le plus long est appelé l'**hypoténuse**.
C'est le côté **opposé à l'angle droit** (il ne touche pas l'angle droit).
Hypoténuse
Côté le plus long du triangle rectangle, opposé à l'angle droit
2Le théorème de Pythagore
**Énoncé :**
Si un triangle est **rectangle**, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
**En formule :**
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
où BC est l'hypoténuse (opposée à l'angle droit en A).
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle : hypoténuse² = côté₁² + côté₂²
3Calculer l'hypoténuse
**Méthode pour trouver l'hypoténuse :**
1. Identifier les deux côtés de l'angle droit
2. Calculer la somme de leurs carrés
3. Prendre la racine carrée
**Exemple :** Triangle rectangle avec côtés 3 cm et 4 cm
$$BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$
$$BC = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$
4Calculer un côté de l'angle droit
**Méthode pour trouver un côté de l'angle droit :**
Si on connaît l'hypoténuse BC et un côté AB :
$$AC^2 = BC^2 - AB^2$$
$$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}$$
**Exemple :** BC = 13 cm, AB = 5 cm
$$AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$
$$AC = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$$
Attention au sens !
Hypoténuse : on ADDITIONNE les carrés | Côté de l'angle droit : on SOUSTRAIT
5La réciproque de Pythagore
**Réciproque :**
Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est **rectangle**.
**Utilisation :** Pour prouver qu'un triangle est rectangle.
**Méthode :**
1. Identifier le plus grand côté
2. Calculer son carré
3. Calculer la somme des carrés des deux autres
4. Comparer : si égaux → rectangle
Réciproque
Si grand² = petit₁² + petit₂² → Triangle RECTANGLE
Exemples résolus
Calculer l'hypoténuse
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calcule BC.
1
J'identifie l'hypoténuse
BC est l'hypoténuse (opposée à l'angle droit en A)
2
J'applique Pythagore
3
Je conclus
Solution :
BC = **10 cm**
Le triplet (6, 8, 10) est un triplet pythagoricien célèbre !
Prouver qu'un triangle est rectangle
Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle ?
1
J'identifie le plus grand côté
Le plus grand côté est 13 cm
2
Je calcule le carré du plus grand
3
Je calcule la somme des carrés des deux autres
4
Je compare
$169 = 169$ ✓
Solution :
Comme $13^2 = 5^2 + 12^2$, d'après la réciproque de Pythagore, le triangle est **rectangle**.
À retenir
- Hypoténuse = plus grand côté, opposé à l'angle droit
- Théorème : hypoténuse² = côté₁² + côté₂²
- Pour l'hypoténuse : additionner puis racine carrée
- Pour un côté de l'angle droit : soustraire puis racine carrée
- Réciproque : permet de prouver qu'un triangle est rectangle
Erreurs à éviter
- ✗Additionner au lieu de soustraire (ou inversement)
- ✗Oublier de prendre la racine carrée
- ✗Se tromper sur l'hypoténuse
Pour aller plus loin
- Le mathématicien grec Pythagore vivait au 6ème siècle avant J.-C. Ce théorème était déjà connu des Babyloniens 1000 ans avant lui !
- Calculer une distance à vol d'oiseau
- Vérifier qu'un angle est droit en construction
- Créer des angles droits avec une corde (3-4-5)