Objectifs de la leçon
- 1Développer une expression
- 2Factoriser avec un facteur commun
- 3Utiliser les identités remarquables
Développer et factoriser sont deux opérations inverses, comme multiplier et diviser ! Le calcul littéral permet de transformer des expressions pour résoudre des problèmes. Comment transformer des expressions algébriques ?
1Développer avec la distributivité
**Distributivité simple** :
$$k(a + b) = ka + kb$$
**Double distributivité** :
$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$
Exemple
Développe $3(2x + 5)$
Solution : $3(2x + 5) = 6x + 15$
2Les identités remarquables
**Les 3 identités à connaître par cœur** :
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$
Exemple
Développe $(x + 3)^2$
Solution : $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 9 = x^2 + 6x + 9$
3Factoriser par facteur commun
**Factoriser** = mettre en facteur
Si tous les termes ont un facteur commun, on le sort :
$$ka + kb = k(a + b)$$
Exemple
Factorise $6x + 15$
Solution : Facteur commun = 3. Donc $6x + 15 = 3(2x + 5)$
4Factoriser avec les identités
Reconnaître une identité permet de factoriser :
- $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
- $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
- $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
Exemple
Factorise $x^2 - 9$
Solution : $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$
À retenir
- Développer = multiplier chaque terme
- Factoriser = trouver le facteur commun
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$