Objectifs de la leçon
- 1Connaître cos, sin et tan
- 2Calculer une longueur
- 3Calculer un angle
Comment calculer la hauteur d'un arbre sans y grimper ? La trigonométrie relie les angles et les longueurs dans un triangle rectangle. Comment utiliser un angle pour calculer une longueur ?
1Vocabulaire : côté adjacent et côté opposé
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné :
- Le **côté adjacent** : côté de l'angle (autre que l'hypoténuse)
- Le **côté opposé** : côté en face de l'angle
- L'**hypoténuse** : toujours le plus grand côté
2Le cosinus d'un angle
**Définition** :
$$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$$
Le cosinus d'un angle aigu est un nombre entre 0 et 1.
Exemple
Dans ABC rectangle en B, AB = 4 et AC = 5. Calcule cos(Â)
Solution : $\cos(\widehat{A}) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5} = 0,8$
3Le sinus d'un angle
**Définition** :
$$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$$
Le sinus d'un angle aigu est aussi entre 0 et 1.
Exemple
Même triangle. BC = 3. Calcule sin(Â)
Solution : $\sin(\widehat{A}) = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5} = 0,6$
4La tangente d'un angle
**Définition** :
$$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$$
La tangente peut être supérieure à 1.
Exemple
Calcule tan(Â) avec BC = 3 et AB = 4
Solution : $\tan(\widehat{A}) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4} = 0,75$
5Calculer une longueur
On utilise la formule adaptée selon les données :
| On connaît | On cherche | On utilise |
|------------|------------|------------|
| Hypoténuse + angle | Adjacent | $adj = hyp \times \cos$ |
| Hypoténuse + angle | Opposé | $opp = hyp \times \sin$ |
| Adjacent + angle | Opposé | $opp = adj \times \tan$ |
Exemple
Hypoténuse 10, angle 30°. Côté opposé ?
Solution : $opp = 10 \times \sin(30°) = 10 \times 0,5 = 5$
6Calculer un angle
Pour trouver un angle, on utilise les **fonctions réciproques** : $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$ (arccos, arcsin, arctan).
Si $\cos(\widehat{A}) = 0,8$, alors $\widehat{A} = \cos^{-1}(0,8) ≈ 36,9°$
Exemple
Côté adjacent = 6, hypoténuse = 10. Angle ?
Solution : $\cos(\widehat{A}) = \frac{6}{10} = 0,6$ $\widehat{A} = \cos^{-1}(0,6) ≈ 53,1°$
7Valeurs remarquables
| Angle | cos | sin | tan |
|-------|-----|-----|-----|
| 30° | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ≈ 0,87 | $\frac{1}{2}$ = 0,5 | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ≈ 0,58 |
| 45° | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ≈ 0,71 | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ≈ 0,71 | 1 |
| 60° | $\frac{1}{2}$ = 0,5 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ≈ 0,87 | $\sqrt{3}$ ≈ 1,73 |
À retenir
- $\cos = \frac{adjacent}{hypoténuse}$ (CAH)
- $\sin = \frac{opposé}{hypoténuse}$ (SOH)
- $\tan = \frac{opposé}{adjacent}$ (TOA)
- Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
- Pour trouver un angle : fonctions réciproques