Objectifs de la leçon
- 1Définir la racine carrée
- 2Simplifier des racines
- 3Calculer avec des racines
Quel nombre multiplié par lui-même donne 9 ? Et pour 2 ? La racine carrée est l'opération inverse du carré. Comment calculer et simplifier des racines carrées ?
1Définition
Pour tout nombre $a \geq 0$, la **racine carrée** de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique nombre **positif** dont le carré vaut $a$.
$(\sqrt{a})^2 = a$ et $\sqrt{a} \geq 0$
Exemples :
- $\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$
- $\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$
- $\sqrt{2} \approx 1,414...$
2Carrés parfaits
Les **carrés parfaits** sont les carrés d'entiers :
| n | n² |
|---|----|
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
| 5 | 25 |
| 6 | 36 |
| 7 | 49 |
| 8 | 64 |
| 9 | 81 |
| 10 | 100 |
| 11 | 121 |
| 12 | 144 |
3Propriétés
Pour $a, b \geq 0$ :
$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$$
$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$ (si $b > 0$)
**ATTENTION** : $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$
Exemple
Simplifie $\sqrt{50}$
Solution : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
4Simplifier une racine
Pour simplifier $\sqrt{n}$ :
1. Décomposer $n$ en produit de facteurs
2. Extraire les carrés parfaits
Exemples :
- $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$
- $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$
5Opérations avec les racines
**Addition/Soustraction** : même radicande
$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
**Multiplication** :
$\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15}$
$2\sqrt{3} \times 5\sqrt{2} = 10\sqrt{6}$
**Carré** :
$(\sqrt{a})^2 = a$
$(3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$
À retenir
- $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut a
- $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
- Simplifier en extrayant les carrés parfaits
- Attention : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$