Tu es en terminale et le logarithme népérien te semble encore un peu flou ? Pas de panique ! En 10 jours, tu peux passer de « je subis » à « je maîtrise ». Ce plan de révision est conçu pour te faire progresser pas à pas, avec des rappels de cours, des méthodes et des exercices types. On va décortiquer la fonction logarithme népérien, ses propriétés, ses équations et ses limites. À la fin, tu seras prêt pour le bac et pour la suite de tes études.
Jour 1-2 : Les fondations du logarithme népérien
Le logarithme népérien, noté ln, est une fonction que tu dois connaître sur le bout des doigts. Elle est définie pour tout x > 0. Sa particularité : ln(1) = 0 et ln(e) = 1, où e est un nombre irrationnel qui vaut environ 2,718. La fonction ln est la réciproque de la fonction exponentielle. Cela signifie que pour tout x > 0, ln(e^x) = x, et pour tout réel x, e^(ln x) = x.
Propriétés essentielles à retenir
Voici les propriétés qui te serviront dans tous les exercices :
- ln(a × b) = ln(a) + ln(b) pour a et b strictement positifs.
- ln(1/a) = -ln(a), et plus généralement ln(a/b) = ln(a) - ln(b).
- ln(a^n) = n × ln(a) pour n entier naturel, et même pour n réel.
- ln(√a) = 1/2 ln(a).
Ces propriétés viennent du fait que ln transforme les multiplications en additions. C'est exactement ce qui rend cette fonction si utile, par exemple pour simplifier des calculs.
Prends le temps de les écrire sur une fiche et de les relire plusieurs fois. Mais attention : ne les apprends pas sans comprendre. Teste-les avec des valeurs simples, comme ln(2) + ln(3) qui doit être égal à ln(6).
Jour 3-4 : Dériver et étudier la fonction ln
En terminale, tu dois savoir dériver la fonction ln. Sa dérivée est simple : (ln x)' = 1/x pour x > 0. C'est la seule fonction élémentaire dont la dérivée est une puissance de x, et c'est aussi la primitive de 1/x.
Mais attention, dans les exercices, tu as souvent des fonctions composées, comme ln(u(x)). La formule est alors : (ln(u))' = u'/u. Par exemple, si f(x) = ln(2x + 1), alors f'(x) = 2/(2x + 1).
Étude complète d'une fonction avec ln
Pour étudier une fonction contenant ln, on suit toujours la même méthode :
- Chercher l'ensemble de définition (il faut que l'argument du ln soit strictement positif).
- Dériver avec les formules adaptées.
- Étudier le signe de la dérivée pour en déduire les variations.
- Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
Voici un exemple concret : on considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x ln(x) - x. Sa dérivée est f'(x) = ln(x) + 1 - 1 = ln(x). Le signe de ln(x) est négatif pour x < 1, nul en x=1, positif pour x > 1. Donc f est décroissante sur ]0 ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[. Le minimum est atteint en x=1 et vaut f(1) = 1×0 - 1 = -1.
Remarque : ce genre d'étude tombe souvent au bac, donc entraîne-toi à bien justifier chaque étape.
Jour 5-6 : Résoudre équations et inéquations avec ln
Savoir résoudre une équation du type ln(A) = ln(B) est indispensable. La règle : si ln(A) = ln(B), alors A = B, à condition que A et B soient strictement positifs. De même, pour les inéquations, la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, donc si ln(A) < ln(B), alors A < B.
Mais attention, il faut toujours vérifier les conditions d'existence. Par exemple, pour résoudre l'équation ln(2x - 1) = ln(x + 3), on commence par exiger 2x - 1 > 0 et x + 3 > 0, c'est-à-dire x > 1/2. Ensuite, on résout 2x - 1 = x + 3, ce qui donne x = 4. Cette valeur est bien supérieure à 1/2, donc c'est la solution.
Pour les inéquations, il y a un piège classique : lorsqu'on a un coefficient devant le ln, il faut d'abord l'écrire comme un ln. Par exemple, pour résoudre ln(x) + ln(x - 1) > ln(2), on commence par transformer le membre de gauche en utilisant la propriété : ln(x(x-1)) > ln(2). Ensuite, on résout x(x-1) > 2, en tenant compte du domaine x > 1.
Ce type d'exercice est très formateur. Pense à toujours vérifier tes solutions dans l'équation de départ, car des solutions peuvent être fausses à cause du domaine.
Jour 7-8 : Limites et croissance comparée
Les limites avec ln sont un passage obligé. Les limites de référence à connaître par cœur :
- lim_{x → +∞} ln(x) = +∞
- lim_{x → 0+} ln(x) = -∞
- lim_{x → +∞} ln(x)/x = 0
- lim_{x → 0+} x ln(x) = 0
Ces deux dernières limites expriment que la fonction ln croît moins vite que toute puissance positive de x, et qu'elle décroît moins vite que toute puissance négative. En d'autres termes, pour lever une indétermination, on utilise ces croissances comparées.
Exemple : calculons lim_{x → +∞} (ln(x) - x). On factorise par x : x(ln(x)/x - 1). Comme ln(x)/x tend vers 0, la parenthèse tend vers -1, donc le produit tend vers -∞. On peut aussi directement dire que la limite est -∞ par comparaison.
Autre exemple classique : lim_{x → +∞} (ln(x))^2 / x. On peut écrire (ln(x)/√x)^2, et comme ln(x)/√x tend vers 0, le carré tend aussi vers 0. Mais il faut connaître la limite de ln(x)/x^a pour tout a > 0 : c'est 0.
Entraîne-toi à reconnaître les formes indéterminées et à appliquer ces règles. Souvent, une factorisation ou un changement de variable suffit.
Jour 9 : Les primitives et le logarithme
En terminale, tu dois savoir intégrer des fonctions simples qui mènent à un logarithme. Par exemple, une primitive de 1/x est ln|x| (mais sur un intervalle où x est positif, on écrit ln(x)). Plus généralement, une primitive de u'/u est ln|u|.
Exemple : pour calculer une primitive de f(x) = (2x)/(x^2 + 1), on reconnaît u'/u avec u = x^2 + 1. Ici u' = 2x, donc une primitive est ln(x^2 + 1). Comme x^2 + 1 est toujours positif, on n'a pas besoin de valeur absolue.
Dans les exercices d'intégration, on te demande souvent de calculer des aires ou des valeurs moyennes. Par exemple, l'aire sous la courbe de 1/x entre 1 et e est égale à ∫_1^e (1/x) dx = ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1. C'est une interprétation géométrique importante.
Révise aussi la relation entre ln et exponentielle pour résoudre des équations du type e^x = a. La solution est x = ln(a), avec a > 0. Cette astuce est souvent utilisée dans les exercices sur la croissance exponentielle, en économie ou en biologie, mais c'est toujours des maths.
Jour 10 : Récapitulatif et entraînement type bac
Ce dernier jour, tu dois consolider tout ce que tu as appris. Refais les exercices des jours précédents sans regarder les corrections. Ensuite, entraîne-toi sur des sujets de bac, par exemple ceux qui mélangent ln et exponentielle.
Voici un exercice type : on considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = ln(x) / x. Étudie ses variations et trace son tableau de variations. Indication : la dérivée est g'(x) = (1 - ln(x))/x^2. Le signe de la dérivée dépend de 1 - ln(x), qui est positif pour x < e, nul en e, négatif pour x > e. Donc g est croissante sur ]0 ; e] et décroissante sur [e ; +∞[. Le maximum est atteint en x = e et vaut g(e) = 1/e.
Ce type d'exercice est très formateur. Pense à bien rédiger tes réponses, car la rigueur est notée au bac.
Les pièges à éviter absolument
Voici une liste des erreurs les plus fréquentes, à connaître pour ne pas les commettre :
- Oublier le domaine de définition : ln(x) n'existe que pour x > 0. Une équation comme ln(x^2) = 2 ln(x) est vraie seulement si x > 0, mais ln(x^2) est définie pour tout x ≠ 0. Il faut donc faire attention.
- Confondre ln(a + b) et ln(a) + ln(b). La propriété ne s'applique qu'au produit.
- Écrire ln(0) ou ln(-1) : c'est interdit.
- Utiliser la dérivée de ln(u) en oubliant de multiplier par u'. Par exemple, si f(x) = ln(3x), f'(x) = 3/(3x) = 1/x, et non pas 1/(3x).
- Ne pas vérifier les solutions d'une équation logarithmique. Par exemple, pour ln(x^2) = ln(4), on pourrait penser que x = 2, mais x = -2 est aussi solution car (-2)^2 = 4.
En gardant ces pièges en tête, tu éviteras les erreurs classiques qui coûtent des points.
Comment utiliser ce plan avec les ressources de Révisemaths
Pour chaque jour, tu peux compléter avec les cours et fiches disponibles sur https://www.revisemaths.fr/cours. Ces ressources sont en accord avec le programme de terminale et contiennent des exercices corrigés.
Si tu as besoin de revoir les bases sur les fonctions, n'hésite pas à consulter https://www.revisemaths.fr/maths. Et pour des fiches de révision synthétiques, direction https://www.revisemaths.fr/fiches.
En plus, si tu prépares le brevet (pour les plus jeunes) ou le bac, tu peux trouver des sujets et des conseils sur https://www.allobrevet.fr et https://www.allobac.fr.
Conclusion : tu es prêt pour le bac !
En 10 jours, tu as parcouru l'essentiel sur le logarithme népérien. Tu connais sa définition, ses propriétés, sa dérivée, ses limites, et tu sais résoudre les équations et inéquations. Tu as aussi appris à calculer des primitives. Il ne te reste plus qu'à t'entraîner régulièrement pour ancrer ces connaissances.
N'oublie pas : les maths, ça se pratique. Refais les exercices, et n'hésite pas à demander de l'aide si un point reste flou. Avec ce plan, tu as toutes les cartes en main pour réussir. Bon courage et lance-toi !