Les pourcentages apparaissent partout : soldes, notes, statistiques, intérêts, sondages. Pourtant, beaucoup d'élèves se trompent encore au moment de calculer une augmentation ou une réduction. Bonne nouvelle : avec une méthode solide et quelques formules bien comprises, les pourcentages deviennent un jeu d'enfant. Dans cet article, tu vas apprendre à calculer un pourcentage, à appliquer une hausse ou une baisse, et à maîtriser le fameux coefficient multiplicateur utilisé au lycée. Que tu sois en 5e, en 3e ou en Terminale, tu trouveras ici des explications adaptées à ton niveau et des exemples entièrement résolus.
1. Qu'est-ce qu'un pourcentage ? Définition et vocabulaire
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur vaut 100. Dire « 25 % », c'est dire « 25 pour cent », c'est-à-dire la fraction 25/100, ou encore le nombre décimal 0,25. Ainsi :
- 50 % = 50/100 = 0,5 = 1/2
- 10 % = 10/100 = 0,1 = 1/10
- 75 % = 75/100 = 0,75 = 3/4
Calculer un pourcentage d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par la fraction correspondante. La formule générale est :
Pourcentage d'une quantité = quantité × (taux / 100)
Par exemple, 20 % de 80 se calcule ainsi : 80 × (20/100) = 80 × 0,2 = 16.
Au collège, on utilise souvent la proportionnalité : on dresse un tableau avec deux colonnes (quantité et pourcentage) et on applique le produit en croix. Au lycée, on privilégie le coefficient multiplicateur, plus rapide et plus puissant, notamment pour les évolutions successives. Retiens dès maintenant que le symbole % signifie « divisé par 100 ».
2. Méthode pas à pas pour calculer un pourcentage
2.1 Calculer un pourcentage d'une quantité
Pour trouver t % d'une quantité Q :
- Étape 1 : transforme le pourcentage en décimal en divisant par 100.
- Étape 2 : multiplie la quantité par ce décimal.
Exemple : 15 % de 240 € → 15/100 = 0,15 → 240 × 0,15 = 36 €.
2.2 Calculer le pourcentage que représente une partie par rapport à un tout
Si tu connais la partie P et le tout T, le pourcentage est :
Pourcentage = (P / T) × 100
Exemple : dans une classe de 30 élèves, 18 font du sport. Le pourcentage d'élèves sportifs est (18/30) × 100 = 0,6 × 100 = 60 %.
2.3 Appliquer une augmentation ou une réduction
Augmenter une quantité de t %, c'est lui ajouter t % d'elle-même. Le coefficient multiplicateur est :
Coefficient d'augmentation = 1 + t/100
Réduire une quantité de t %, c'est lui retirer t % d'elle-même. Le coefficient est :
Coefficient de réduction = 1 − t/100
Exemple : augmenter 80 de 25 % revient à multiplier par 1,25 : 80 × 1,25 = 100. Réduire 80 de 25 % revient à multiplier par 0,75 : 80 × 0,75 = 60.
2.4 Évolutions successives
Pour deux évolutions de coefficients C1 et C2, le coefficient global est C = C1 × C2. Attention : les pourcentages ne s'additionnent pas ! Une hausse de 10 % suivie d'une hausse de 20 % donne un coefficient global de 1,10 × 1,20 = 1,32, soit une hausse de 32 % et non de 30 %.
2.5 Pourcentage d'évolution entre deux valeurs
Si une valeur passe de Vdépart à Varrivée, le taux d'évolution est :
t = ((Varrivée − Vdépart) / Vdépart) × 100
Exemple : un prix passe de 50 € à 65 €. t = ((65 − 50) / 50) × 100 = (15/50) × 100 = 0,3 × 100 = 30 %. Le prix a augmenté de 30 %.
3. Exemple concret entièrement résolu
Prenons un problème typique de brevet ou de contrôle continu.
Énoncé : Un article coûte 120 €. Le vendeur accorde une remise de 15 %. Puis, le mois suivant, il augmente le prix remisé de 10 %. Quel est le prix final ? Quel est le pourcentage global d'évolution par rapport au prix initial ?
Résolution détaillée :
- Prix initial : 120 €.
- Remise de 15 % : coefficient = 1 − 0,15 = 0,85. Prix après remise = 120 × 0,85 = 102 €.
- Augmentation de 10 % sur 102 € : coefficient = 1 + 0,10 = 1,10. Prix final = 102 × 1,10 = 112,20 €.
- Coefficient global : 0,85 × 1,10 = 0,935. Cela correspond à une réduction globale de 1 − 0,935 = 0,065, soit 6,5 %.
- Vérification : 120 × 0,935 = 112,20 €. Le prix a globalement baissé de 6,5 %.
Remarque importante : une baisse de 15 % suivie d'une hausse de 10 % ne redonne pas le prix initial, car les pourcentages s'appliquent à des valeurs différentes. C'est le piège classique.
Si tu veux t'entraîner sur d'autres exercices corrigés, consulte la rubrique exercices de maths du site.
4. Pièges fréquents et conseils de méthode
4.1 Ne pas additionner les pourcentages
Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène pas au point de départ. Coefficient : 1,20 × 0,80 = 0,96, soit une baisse de 4 %. Ce résultat surprenant s'explique par le fait que la baisse s'applique à une valeur plus grande.
4.2 Attention aux pourcentages de pourcentages
« 30 % des élèves sont en 3e, et parmi eux 40 % font latin » ne signifie pas 70 % font latin. Il faut multiplier : 0,30 × 0,40 = 0,12, soit 12 % de l'ensemble des élèves.
4.3 Utiliser le coefficient multiplicateur
Dès que tu as plusieurs évolutions, passe par les coefficients. C'est plus rapide et plus sûr que de calculer les montants intermédiaires.
4.4 Vérifier la cohérence du résultat
Un pourcentage supérieur à 100 % est possible (par exemple une augmentation de 150 %), mais un pourcentage de remise ne peut pas dépasser 100 %. De même, une réduction de 100 % donne 0.
4.5 Revenir à la valeur initiale
Pour retrouver la valeur de départ après une évolution, divise par le coefficient. Exemple : après une hausse de 25 %, le prix est 75 €. Prix initial = 75 / 1,25 = 60 €.
5. Pourcentages au lycée : taux d'évolution et évolutions réciproques
En 1re et Terminale, on formalise avec les taux d'évolution. Le taux d'évolution t et le coefficient multiplicateur C sont liés par C = 1 + t (où t est exprimé en décimal). Par exemple, un taux de 0,12 correspond à C = 1,12.
L'évolution réciproque, qui ramène à la valeur initiale, a pour coefficient l'inverse : 1/C. Si C = 1,25, l'évolution réciproque a pour coefficient 1/1,25 = 0,8, soit une baisse de 20 %. Ainsi, une hausse de 25 % est compensée par une baisse de 20 % (et non de 25 %).
On rencontre aussi les pourcentages dans les suites géométriques : une augmentation de 5 % par an correspond à une suite de raison 1,05. C'est un outil essentiel pour les intérêts composés.
Pour approfondir les cours sur les pourcentages et les évolutions, rends-toi sur la page cours de maths.
6. Exercices pour s'entraîner
Voici quelques exercices progressifs. Essaie de les résoudre seul, puis vérifie avec une calculatrice.
- Niveau collège : Un pull coûte 45 €. Il est soldé à −30 %. Quel est son nouveau prix ? (Réponse : 45 × 0,70 = 31,50 €.)
- Niveau collège : Dans un collège de 480 élèves, 216 sont externes. Quel pourcentage cela représente-t-il ? (Réponse : 216/480 × 100 = 45 %.)
- Niveau lycée : Un prix augmente de 12 % puis diminue de 8 %. Quel est le taux global ? (Réponse : 1,12 × 0,92 = 1,0304, soit +3,04 %.)
- Niveau lycée : Après une hausse de 15 %, un article coûte 92 €. Quel était son prix initial ? (Réponse : 92 / 1,15 = 80 €.)
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Conclusion
Les pourcentages ne sont pas difficiles si tu retiens trois idées clés : un pourcentage est une fraction de dénominateur 100, on utilise le coefficient multiplicateur pour les évolutions, et on ne additionne jamais les pourcentages. Entraîne-toi régulièrement avec des exercices variés, du calcul direct aux évolutions successives. Plus tu manipules ces notions, plus elles deviendront automatiques. Alors, prends une feuille, choisis quelques exercices sur revisemaths.fr et lance-toi !