Tu entends parler de fonction affine en cours et tu ne sais pas trop par où commencer ? Rassure-toi : c'est une des notions les plus utiles du collège et du lycée, et elle repose sur une idée très simple. Une fonction affine sert à décrire une situation où une quantité augmente (ou diminue) toujours du même montant quand une autre augmente de 1. Prix d'un abonnement, distance parcourue à vitesse constante, salaire avec prime fixe… tout cela se modélise par une fonction affine.
Dans cet article, on va voir ensemble la définition exacte, comment représenter une fonction affine dans un repère, comment calculer son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine, et surtout comment résoudre les exercices typiques du brevet et de la seconde. Tu trouveras aussi des exemples entièrement détaillés, des pièges à éviter et une FAQ pour vérifier ta compréhension. Si tu veux d'abord revoir les bases sur les fonctions, jette un œil à nos cours de maths avant de continuer.
Qu'est-ce qu'une fonction affine ? Définition précise
Une fonction affine est une fonction définie sur l'ensemble des réels par une formule de la forme :
f(x) = a·x + b
où a et b sont deux nombres réels fixés. On appelle :
- a le coefficient directeur : il indique de combien f(x) change quand x augmente de 1.
- b l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de f(0), c'est-à-dire l'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Quelques cas particuliers à connaître :
- Si b = 0, la fonction s'écrit f(x) = a·x. On dit qu'elle est linéaire : la droite passe par l'origine du repère.
- Si a = 0, la fonction s'écrit f(x) = b. C'est une fonction constante : la droite est horizontale.
Attention à ne pas confondre : toutes les fonctions linéaires sont affines, mais l'inverse est faux. Une fonction affine dont b ≠ 0 n'est pas linéaire.
Le vocabulaire à maîtriser
Avant d'aller plus loin, vérifie que tu es à l'aise avec ces mots :
- Image : f(x) est l'image de x par f.
- Antécédent : x est un antécédent de y si f(x) = y.
- Représentation graphique : l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). Pour une fonction affine, c'est toujours une droite (non verticale).
- Sens de variation : si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, elle est décroissante ; si a = 0, elle est constante.
Comment représenter une fonction affine dans un repère
Pour représenter une fonction affine, il suffit de deux points : une droite est entièrement déterminée par deux points distincts. Voici la méthode pas à pas.
Étape 1 — Calculer deux images faciles
Choisis deux valeurs de x simples (souvent 0 et 1, ou 0 et 2). Calcule f(x) pour chacune. Tu obtiens deux points.
Étape 2 — Placer les points dans le repère
Pour chaque point, place x sur l'axe des abscisses (horizontal) et f(x) sur l'axe des ordonnées (vertical).
Étape 3 — Tracer la droite
Relie les deux points à la règle et prolonge la droite des deux côtés. N'oublie pas d'écrire l'équation de la droite à côté (par exemple y = 2x + 1).
Astuce : utiliser le coefficient directeur comme « pente »
Depuis le point (0 ; b), tu peux te déplacer : tu avances de 1 unité vers la droite, puis tu montes (ou descends) de |a| unités. Si a > 0 tu montes, si a < 0 tu descends. Tu obtiens un deuxième point sans calcul.
Exemple entièrement résolu : f(x) = 2x + 1
Prenons la fonction affine f(x) = 2x + 1. Ici a = 2 et b = 1.
Calcul des images
- f(0) = 2 × 0 + 1 = 1. Le point A(0 ; 1) appartient à la droite.
- f(1) = 2 × 1 + 1 = 3. Le point B(1 ; 3) appartient à la droite.
- f(2) = 2 × 2 + 1 = 5. Le point C(2 ; 5) appartient à la droite.
Les trois points sont alignés : c'est normal, la représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
Vérification du sens de variation
Comme a = 2 > 0, la fonction est croissante. On le voit bien : quand x passe de 0 à 1, f(x) passe de 1 à 3, soit une augmentation de 2. Le coefficient directeur a = 2 correspond exactement à cette augmentation.
Calcul d'un antécédent
Cherchons l'antécédent de 7, c'est-à-dire le x tel que f(x) = 7. On résout :
2x + 1 = 7
2x = 6
x = 3
Donc l'antécédent de 7 est 3. Graphiquement, cela veut dire que le point (3 ; 7) est sur la droite.
Déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de deux points
C'est l'exercice classique du brevet et de la seconde. On te donne deux points et on te demande de retrouver a et b.
Méthode avec un système
Supposons que la droite passe par A(1 ; 5) et B(3 ; 11). On cherche f(x) = a·x + b.
Étape 1 : écrire les deux équations.
f(1) = 5 donc a + b = 5.
f(3) = 11 donc 3a + b = 11.
Étape 2 : soustraire la première équation à la seconde.
(3a + b) − (a + b) = 11 − 5
2a = 6
a = 3.
Étape 3 : remplacer a dans la première équation.
3 + b = 5
b = 2.
Conclusion : f(x) = 3x + 2.
Formule directe du coefficient directeur
Si tu connais deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) avec xA ≠ xB, alors :
a = (yB − yA) / (xB − xA)
Dans notre exemple : a = (11 − 5) / (3 − 1) = 6 / 2 = 3. On retrouve bien a = 3. Puis b = yA − a·xA = 5 − 3 × 1 = 2.
Cette formule est très pratique et tu la réutiliseras en première et en terminale pour calculer des taux d'accroissement, ancêtres de la dérivée.
Pièges fréquents et conseils de révision
Piège 1 — Confondre coefficient directeur et ordonnée à l'origine
Dans f(x) = 5x − 3, le coefficient directeur est 5 (le nombre devant x), et l'ordonnée à l'origine est −3 (le nombre seul). Beaucoup d'élèves inversent. Retiens : a devant x, b tout seul.
Piège 2 — Oublier le signe
Dans f(x) = −2x + 4, a = −2. La fonction est décroissante. Une erreur classique est d'écrire a = 2 et de tracer une droite croissante. Vérifie toujours le signe.
Piège 3 — Mal placer les points
Quand tu places le point (3 ; 7), le 3 va sur l'axe horizontal et le 7 sur l'axe vertical. Ne les inverse pas ! Un point se lit toujours (x ; y).
Piège 4 — Croire que toute droite est une fonction affine
Une droite verticale (par exemple x = 2) n'est pas la représentation d'une fonction affine : elle ne passe pas le « test de la verticale ». Une fonction affine a toujours une équation de la forme y = a·x + b.
Conseils pour réviser efficacement
- Refais plusieurs fois le même type d'exercice : calculer f(0), f(1), f(−1), tracer la droite, retrouver a et b à partir de deux points.
- Entraîne-toi à passer d'une formule à un graphique et inversement. C'est le va-et-vient qui fait progresser.
- Utilise des fiches de révision pour mémoriser les formules clés : nos fiches de maths sont faites pour ça.
- Si tu prépares le brevet, tu peux aussi consulter les ressources de révision sur AlloBrevet. Pour le bac, direction AlloBac.
- Approfondis les notions de fonctions sur nos cours en ligne.
Pourquoi maîtriser les fonctions affines change tout
La fonction affine est la brique de base de toute l'analyse au lycée. En seconde, tu l'étudies avec les tableaux de signes et les inéquations. En première, tu la retrouves dans les suites arithmétiques (où u(n) = u(0) + n·r est une fonction affine de n). En terminale, tu comprends que la dérivée d'une fonction affine f(x) = a·x + b est constante et vaut a — c'est la première dérivée que tu calcules sans même t'en rendre compte.
Maîtriser la fonction affine, c'est donc investir dans ton avenir mathématique. Ce n'est pas une notion « à oublier après le contrôle » : elle revient partout.
Conclusion : passe à la pratique
Tu connais maintenant la définition exacte, la méthode pour représenter une fonction affine, la façon de calculer a et b à partir de deux points, et les pièges à éviter. La clé, c'est de t'entraîner régulièrement : commence par des exercices simples (calculer des images, tracer des droites), puis augmente la difficulté (retrouver l'expression d'une fonction à partir de deux points, résoudre f(x) = k).
N'hésite pas à refaire l'exemple f(x) = 2x + 1 sur une feuille quadrillée, puis invente tes propres fonctions affines et représente-les. Plus tu manipules, plus ça devient automatique. Et si un point reste flou, reviens sur les définitions : une fonction affine, c'est juste une machine qui ajoute toujours la même chose quand x augmente de 1. Bon courage, tu vas y arriver !