Tu as déjà résolu des équations comme 2x + 3 = 7. Mais que se passe-t-il quand deux inconnues apparaissent et que plusieurs équations doivent être vraies en même temps ? C'est exactement ce qu'on appelle un système d'équations. Cette notion est au programme dès la 3e et se poursuit au lycée (seconde, première, terminale) avec des méthodes de plus en plus puissantes. Dans cet article, tu vas comprendre ce qu'est un système, comment le résoudre pas à pas avec les méthodes de substitution et de combinaison, et éviter les erreurs classiques. Prêt ? C'est parti !
Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations qui doivent être vérifiées simultanément par les mêmes valeurs des inconnues. Par exemple :
(S) : { 2x + y = 7 ; x - y = 2 }
Ici, x et y sont les inconnues. Une solution du système est un couple (x ; y) qui rend les deux équations vraies en même temps. Résoudre le système, c'est trouver tous les couples solutions.
Au collège (3e), on se limite à deux équations à deux inconnues, avec des solutions uniques. Au lycée, on peut avoir trois inconnues, des paramètres, ou des systèmes non linéaires (avec des produits d'inconnues). La méthode générale reste la même : éliminer une inconnue pour se ramener à une seule équation.
Vocabulaire à connaître
- Inconnue : lettre qui représente un nombre que l'on cherche (x, y, z...).
- Équation : égalité contenant une ou plusieurs inconnues.
- Solution : couple (ou triplet) de valeurs qui vérifie toutes les équations.
- Système compatible : il admet au moins une solution.
- Système incompatible : aucune solution (les équations se contredisent).
Méthode 1 : la substitution
La substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une équation, puis à remplacer cette expression dans la seconde équation.
Étapes clés
- Choisis l'équation la plus simple et isole une inconnue (par exemple x = ... ou y = ...).
- Remplace cette inconnue par son expression dans l'autre équation.
- Résous l'équation obtenue à une seule inconnue.
- Remplace la valeur trouvée dans l'expression de départ pour trouver la seconde inconnue.
- Vérifie que le couple trouvé satisfait les deux équations.
Exemple entièrement résolu
Résolvons le système : { 2x + y = 7 ; x - y = 2 }
Étape 1 : La deuxième équation est simple : x - y = 2 donne x = y + 2.
Étape 2 : On remplace x par y + 2 dans la première équation :
2(y + 2) + y = 7
Étape 3 : On développe : 2y + 4 + y = 7, donc 3y + 4 = 7, donc 3y = 3, donc y = 1.
Étape 4 : On remplace y par 1 dans x = y + 2 : x = 1 + 2 = 3.
Étape 5 : Vérification :
2×3 + 1 = 6 + 1 = 7 ✔
3 - 1 = 2 ✔
La solution est le couple (3 ; 1).
Méthode 2 : la combinaison (ou élimination)
La combinaison consiste à additionner ou soustraire les deux équations (après multiplication éventuelle) pour éliminer une inconnue. C'est souvent plus rapide quand les coefficients sont bien choisis.
Étapes clés
- Multiplie une ou les deux équations par des nombres bien choisis pour que les coefficients d'une même inconnue soient opposés.
- Additionne les deux équations membre à membre : une inconnue disparaît.
- Résous l'équation restante.
- Remplace la valeur trouvée dans l'une des équations initiales pour trouver l'autre inconnue.
- Vérifie.
Exemple résolu
Soit le système : { 3x + 2y = 16 ; 2x - 2y = 4 }
Étape 1 : Les coefficients de y sont déjà opposés (+2 et -2). Pas besoin de multiplier.
Étape 2 : On additionne membre à membre :
(3x + 2y) + (2x - 2y) = 16 + 4
5x = 20
Étape 3 : Donc x = 4.
Étape 4 : On remplace x par 4 dans la première équation :
3×4 + 2y = 16 → 12 + 2y = 16 → 2y = 4 → y = 2.
Étape 5 : Vérification :
3×4 + 2×2 = 12 + 4 = 16 ✔
2×4 - 2×2 = 8 - 4 = 4 ✔
Solution : (4 ; 2).
Méthode 3 : la représentation graphique
Chaque équation du type ax + by = c est une droite dans le plan. Résoudre le système revient à trouver le point d'intersection de ces deux droites. Cette méthode est utile pour visualiser, mais elle donne rarement des valeurs exactes. Elle est surtout employée en seconde pour introduire la notion de système et en première pour les systèmes d'équations linéaires.
Exemple : les droites d'équation 2x + y = 7 et x - y = 2 se coupent au point (3 ; 1), ce qui confirme notre résultat.
Si les droites sont parallèles, le système n'a pas de solution. Si elles sont confondues, il y a une infinité de solutions.
Cas particuliers et pièges fréquents
Système sans solution
Considérons : { x + y = 3 ; x + y = 5 }. En soustrayant, on obtient 0 = 2, ce qui est impossible. Le système n'a pas de solution. Graphiquement, les droites sont parallèles.
Système avec une infinité de solutions
Soit : { 2x + y = 4 ; 4x + 2y = 8 }. La deuxième équation est le double de la première. Elles sont équivalentes. Tout couple (x ; y) vérifiant 2x + y = 4 est solution. Il y en a une infinité.
Erreurs à éviter
- Oublier de vérifier la solution dans les deux équations.
- Mal distribuer un signe moins : -(x - 3) = -x + 3 et non -x - 3.
- Confondre x et y dans la conclusion : la solution est un couple (x ; y), pas deux valeurs séparées.
- Utiliser la substitution quand une équation n'est pas linéaire (par exemple xy = 6). Dans ce cas, il faut d'autres techniques (factorisation, etc.).
Pourquoi maîtriser les systèmes d'équations ?
Les systèmes d'équations sont partout : en géométrie (coordonnées d'un point d'intersection), en économie (équilibre offre-demande), en physique (lois de Kirchhoff), et bien sûr en mathématiques pures. Au lycée, tu les retrouveras en seconde avec les droites, en première avec les suites et les fonctions, et en terminale avec les systèmes linéaires et les matrices. Maîtriser la résolution de systèmes, c'est te donner un outil puissant pour résoudre des problèmes concrets.
Pour t'entraîner, rien ne vaut la pratique. Tu trouveras des exercices corrigés sur notre site, ainsi que des cours détaillés pour approfondir. Si tu prépares le brevet, n'hésite pas à consulter les ressources de AlloBrevet ; pour le bac, AlloBac propose des fiches méthodes adaptées.
Conclusion
Tu connais maintenant les trois méthodes principales pour résoudre un système d'équations : substitution, combinaison et graphique. La substitution est idéale quand une inconnue est déjà isolée ou facile à isoler. La combinaison est parfaite quand les coefficients sont simples à ajuster. La méthode graphique aide à visualiser. N'oublie jamais de vérifier ta solution. Avec un peu d'entraînement, ces méthodes deviendront des réflexes. Alors, à tes crayons !