Tu es en terminale et tu découvres le logarithme népérien ? Pas de panique, c'est une notion clé pour le bac. Dans cet article, on te explique tout : définition, propriétés, méthode étape par étape, exemple corrigé et pièges à éviter. À la fin, tu sauras manipuler ln comme un pro !
Qu'est-ce que le logarithme népérien ?
Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, ln(x) est l'unique nombre réel y tel que e^y = x. Par exemple, ln(1) = 0 car e^0 = 1, et ln(e) = 1 car e^1 = e.
Cette fonction est définie sur ]0 ; +∞[ et prend toutes les valeurs réelles. Elle est strictement croissante et vérifie des propriétés algébriques très utiles pour simplifier les calculs.
Propriétés fondamentales à connaître
Voici les propriétés essentielles du logarithme népérien que tu dois maîtriser :
- ln(ab) = ln a + ln b pour a > 0 et b > 0
- ln(a/b) = ln a - ln b
- ln(a^n) = n ln a pour n entier relatif
- ln(1/a) = -ln a
- ln(√a) = (1/2) ln a
Ces propriétés découlent directement de celles de l'exponentielle. Par exemple, pour la première : e^(ln a + ln b) = e^(ln a) × e^(ln b) = a × b, donc ln a + ln b est bien l'exposant qui donne ab.
Méthode pour résoudre une équation avec ln
Pour résoudre une équation contenant des ln, suis ces étapes :
- Domaine de définition : assure-toi que tous les arguments des ln sont strictement positifs.
- Isoler le ln : regroupe les termes en ln d'un côté, les constantes de l'autre.
- Appliquer l'exponentielle : utilise e^ln(...) = ... pour éliminer le ln.
- Résoudre l'équation obtenue : souvent une équation polynomiale.
- Vérifier les solutions : garde seulement celles qui appartiennent au domaine de définition.
Exemple corrigé pas à pas
Résous l'équation : ln(x+1) + ln(x-1) = ln(3).
Étape 1 : Domaine de définition
Il faut x+1 > 0 et x-1 > 0, soit x > -1 et x > 1. Donc x > 1. Ensemble : ]1 ; +∞[.
Étape 2 : Utiliser les propriétés
ln(x+1) + ln(x-1) = ln[(x+1)(x-1)] = ln(x² - 1). L'équation devient ln(x² - 1) = ln(3).
Étape 3 : Éliminer les ln
Comme ln est injective, on a x² - 1 = 3, soit x² = 4.
Étape 4 : Résoudre
Les solutions sont x = 2 ou x = -2.
Étape 5 : Vérifier le domaine
x = 2 est dans ]1 ; +∞[, donc acceptable. x = -2 ne l'est pas. Solution unique : x = 2.
On vérifie : ln(2+1)+ln(2-1)=ln3+ln1=ln3, c'est bon.
Dérivée de la fonction ln
La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa dérivée est : (ln x)' = 1/x. Plus généralement, pour une fonction u(x) > 0 et dérivable, la dérivée de ln(u(x)) est u'(x)/u(x).
Exemple : dériver f(x) = ln(2x+1). On pose u(x)=2x+1, u'(x)=2, donc f'(x)=2/(2x+1).
Pièges fréquents à éviter
- Oublier le domaine : ln n'est défini que pour des arguments strictement positifs. Toujours vérifier avant de résoudre.
- ln(a+b) n'est pas égal à ln a + ln b : cette propriété n'existe que pour le produit.
- ln(0) n'existe pas : ln(0) est -∞, mais ce n'est pas une valeur réelle.
- Confondre ln et log : en terminale, ln est le logarithme népérien (base e). Le logarithme décimal (base 10) est noté log.
Comment réviser efficacement ?
Pour maîtriser le logarithme népérien, entraîne-toi régulièrement. Fais les exercices de ton manuel, consulte nos cours de maths et nos fiches de révision. Tu peux aussi t'entraîner sur AlloBac pour des sujets de bac corrigés. Si tu es en 3ème et que tu prépares le brevet 2026, le logarithme n'est pas au programme, mais les fonctions de référence comme la fonction carré ou affine le sont : révise-les sur notre page maths.
Conclusion
Le logarithme népérien est un outil puissant pour résoudre des équations exponentielles, étudier des fonctions ou modéliser des phénomènes. Avec les bonnes méthodes et un peu de pratique, tu le maîtriseras sans difficulté. N'oublie pas : vérifie toujours le domaine, utilise les propriétés à bon escient, et entraîne-toi sur des exercices variés. Tu es prêt pour le bac !