Les fonctions polynômes du second degré sont partout : trajectoire d’un ballon, bénéfice d’une entreprise, ou encore modélisation d’une parabole. En 3ème, tu les découvres pour la première fois, mais elles t’accompagneront jusqu’au lycée. Dans cet article, on te dit tout ce qu’il faut savoir pour le bac : définition, forme canonique, sommet, variations et résolution d’équations. Prêt à maîtriser les fonctions du second degré ? C’est parti !
Qu’est-ce qu’une fonction polynôme du second degré ?
Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme du second degré) est une fonction qui s’écrit sous la forme :
f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0.
Les coefficients a, b et c sont des nombres réels. Le terme le plus important est a, car il donne la forme de la parabole.
Exemple : f(x) = 2x² – 3x + 1 est une fonction du second degré avec a=2, b=-3, c=1.
Représentation graphique : une parabole
La courbe d’une fonction du second degré est une parabole. Elle possède un sommet (point le plus haut ou le plus bas) et un axe de symétrie vertical.
- Si a > 0 : la parabole est tournée vers le haut (forme de U), le sommet est un minimum.
- Si a < 0 : la parabole est tournée vers le bas (forme de ∩), le sommet est un maximum.
Exemple : f(x) = x² – 4x + 3 a a=1 > 0, donc sa parabole a un minimum.
Forme canonique et sommet
La forme canonique permet de lire directement les coordonnées du sommet. Elle s’écrit :
f(x) = a(x – α)² + β
avec α = –b/(2a) et β = f(α).
Le sommet S a pour coordonnées (α ; β). L’axe de symétrie est la droite verticale x = α.
Exemple : f(x) = 2x² – 8x + 5. Calculons α = –(–8)/(2×2) = 8/4 = 2. Puis β = f(2) = 2×4 – 16 + 5 = 8 – 16 + 5 = –3. Donc forme canonique : f(x) = 2(x – 2)² – 3, sommet S(2 ; –3).
Variations et tableau de variations
Les variations d’une fonction du second degré sont simples : elle décroît jusqu’au sommet, puis croît (ou l’inverse).
- Si a > 0 : f est décroissante sur ]–∞ ; α] et croissante sur [α ; +∞[.
- Si a < 0 : f est croissante sur ]–∞ ; α] et décroissante sur [α ; +∞[.
Exemple : f(x) = –x² + 6x – 5. a = –1 < 0, α = –6/(2×–1) = –6/–2 = 3. Donc f est croissante sur ]–∞ ; 3] et décroissante sur [3 ; +∞[.
Résoudre une équation du second degré
Pour trouver les racines (les x où f(x)=0), on calcule le discriminant Δ = b² – 4ac.
- Si Δ > 0 : deux racines distinctes x₁ = (–b – √Δ)/(2a) et x₂ = (–b + √Δ)/(2a).
- Si Δ = 0 : une racine double x₀ = –b/(2a).
- Si Δ < 0 : pas de racine réelle.
Exemple : f(x) = x² – 5x + 6. Δ = 25 – 24 = 1 > 0. Racines : x₁ = (5 – 1)/2 = 2, x₂ = (5 + 1)/2 = 3. La parabole coupe l’axe des abscisses en x=2 et x=3.
Exemple concret entièrement résolu
Étudions la fonction f(x) = –2x² + 4x + 6.
1. Forme canonique : α = –4/(2×–2) = –4/–4 = 1. β = f(1) = –2×1 + 4×1 + 6 = –2 + 4 + 6 = 8. Donc f(x) = –2(x – 1)² + 8.
2. Sommet : S(1 ; 8). a = –2 < 0, donc c’est un maximum.
3. Variations : croissante sur ]–∞ ; 1], décroissante sur [1 ; +∞[.
4. Racines : Δ = 4² – 4×–2×6 = 16 + 48 = 64. √Δ = 8. x₁ = (–4 – 8)/(2×–2) = (–12)/(–4) = 3. x₂ = (–4 + 8)/(–4) = 4/(–4) = –1. Racines : –1 et 3.
5. Tableau de signes : f(x) > 0 entre les racines (car a < 0, la parabole est tournée vers le bas, donc positive entre les racines).
6. Tableau de variations :
- Sur ]–∞ ; 1] : f croissante de –∞ à 8.
- Sur [1 ; +∞[ : f décroissante de 8 à –∞.
Pièges à éviter et conseils pour le bac
Voici les erreurs fréquentes :
- Oublier que a ≠ 0 : si a=0, ce n’est plus du second degré.
- Confondre le signe de a et l’orientation de la parabole : a > 0 → U (minimum), a < 0 → ∩ (maximum).
- Erreur dans le calcul de α : α = –b/(2a), et non b/(2a).
- Oublier de vérifier le signe de Δ avant de calculer les racines.
- Mal interpréter le tableau de signes : le signe de f(x) dépend de a et de la position par rapport aux racines.
Pour bien réviser, entraîne-toi avec des exercices variés. Tu peux consulter nos cours de maths et nos fiches de révision pour le bac. Et n’oublie pas de visiter AlloBrevet pour des annales corrigées.
Conclusion
Les fonctions polynômes du second degré sont un pilier des mathématiques au collège et au lycée. Avec la forme canonique, le discriminant et le tableau de variations, tu as toutes les clés pour les étudier. Pour le bac, maîtrise ces notions : elles te rapporteront des points précieux. Continue à t’entraîner sur Revisemaths.fr et deviens un as des paraboles !