La fonction affine est l'une des notions les plus rentables du collège et du lycée : elle tombe presque chaque année au brevet et elle est la base de tout ce qu'on fera ensuite sur les fonctions en Seconde, Première et Terminale. Bonne nouvelle : c'est aussi une notion où les erreurs se répètent toujours aux mêmes endroits. Si tu connais ces pièges à l'avance, tu gagnes des points très facilement.
Dans cet article, on va voir ce qu'est exactement une fonction affine, comment représenter une fonction affine sans se tromper, puis on passera en revue les 6 erreurs qui coûtent le plus cher en contrôle. Tout est illustré par des exemples chiffrés, du niveau 3e jusqu'à la Seconde. Tu peux aussi revoir les bases sur https://www.revisemaths.fr/maths avant de commencer.
Rappel : qu'est-ce qu'une fonction affine ?
Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme :
f(x) = a x + b
où a et b sont deux nombres fixés (des constantes).
- a s'appelle le coefficient directeur : il indique comment la droite monte ou descend.
- b s'appelle l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de f(0), c'est-à-dire l'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Deux cas particuliers à connaître :
- Si a = 0, alors f(x) = b : la fonction est constante. Sa représentation est une droite horizontale.
- Si b = 0, alors f(x) = a x : la fonction est linéaire. Sa droite passe par l'origine du repère (le point (0 ; 0)).
Attention au vocabulaire : toutes les fonctions linéaires sont affines (avec b = 0), mais toutes les fonctions affines ne sont pas linéaires. Confondre les deux est déjà un premier piège.
Comment représenter une fonction affine sans se tromper
Représenter une fonction affine, c'est tracer une droite dans un repère. Une droite est entièrement déterminée par deux points. La méthode la plus sûre est la suivante :
Étape 1 : construire un tableau de valeurs
Choisis deux valeurs simples de x, par exemple x = 0 puis x = 1 (ou x = 2 si le coefficient est une fraction). Calcule f(0) et f(1).
Étape 2 : placer les deux points
Le point correspondant à x = 0 a pour coordonnées (0 ; b). C'est l'ordonnée à l'origine. Le deuxième point se place en utilisant le coefficient directeur.
Étape 3 : tracer la droite
Relie les deux points à la règle et prolonge la droite des deux côtés avec des flèches. Vérifie toujours que ta droite passe bien par (0 ; b).
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Les 6 pièges classiques (et comment les éviter)
Piège 1 : confondre a et b
Beaucoup d'élèves lisent f(x) = 3x + 5 et croient que le coefficient directeur est 5. Non : le coefficient directeur est le nombre multiplié par x, ici 3. Le 5 est l'ordonnée à l'origine. Astuce : dans f(x) = a x + b, le « a » est collé au x, le « b » est tout seul.
Piège 2 : oublier que l'ordonnée à l'origine est f(0)
L'ordonnée à l'origine n'est pas une abscisse. Quand on écrit f(x) = 2x - 7, la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; -7) et non au point (-7 ; 0). L'erreur est fréquente quand b est négatif.
Piège 3 : mal interpréter le signe de a
- Si a > 0, la fonction est croissante : la droite monte quand on lit de gauche à droite.
- Si a < 0, la fonction est décroissante : la droite descend.
- Si a = 0, la fonction est constante : la droite est horizontale.
Erreur classique : dire qu'une fonction est décroissante parce que b est négatif. Faux ! C'est le signe de a qui décide, pas celui de b.
Piège 4 : mal calculer le coefficient directeur à partir de deux points
Si on connaît deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) de la droite, alors :
a = (yB - yA) / (xB - xA)
Erreur fréquente : inverser numérateur et dénominateur, ou soustraire les coordonnées dans le désordre. Il faut faire les soustractions dans le même ordre en haut et en bas.
Piège 5 : croire qu'une droite verticale est une fonction affine
Une droite verticale n'est jamais la représentation d'une fonction affine : elle ne passe pas le test de la verticale (une même valeur de x aurait plusieurs images). Une fonction affine a toujours une droite oblique ou horizontale, jamais verticale.
Piège 6 : oublier de vérifier la cohérence du résultat
Après avoir trouvé a et b, remplace x par une valeur connue et vérifie que tu retrouves bien f(x). C'est un réflexe qui sauve des points.
Exemple entièrement résolu
Énoncé : soit f la fonction affine telle que f(1) = 5 et f(3) = 11. Détermine l'expression de f(x), puis indique son sens de variation.
Étape 1 : repérer les deux points. On a A(1 ; 5) et B(3 ; 11).
Étape 2 : calculer le coefficient directeur.
a = (yB - yA) / (xB - xA) = (11 - 5) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3.
Étape 3 : trouver b. On sait que f(x) = 3x + b. On utilise f(1) = 5 :
3 × 1 + b = 5, donc 3 + b = 5, donc b = 2.
Étape 4 : conclure. f(x) = 3x + 2.
Vérification : f(3) = 3 × 3 + 2 = 9 + 2 = 11. C'est bien cohérent.
Sens de variation : a = 3 > 0, donc f est croissante sur R. Sa représentation est une droite qui monte, passant par (0 ; 2).
Tu peux retrouver d'autres exercices corrigés du même type sur https://www.revisemaths.fr/cours.
Méthode de révision et conseils pour progresser
Pour maîtriser la fonction affine, il ne suffit pas de relire le cours : il faut faire des exercices. Voici une routine efficace :
- Apprends par cœur la forme f(x) = a x + b et la signification de a et b.
- Entraîne-toi à passer d'un tableau de valeurs à une expression, et inversement.
- Trace au moins trois droites par semaine dans un repère, en vérifiant chaque fois que la droite coupe bien l'axe des ordonnées en (0 ; b).
- Refais les exercices ratés en expliquant à voix haute chaque étape. Si tu ne sais pas expliquer, c'est que la notion n'est pas encore acquise.
Si tu prépares le brevet, tu peux compléter avec les ressources du réseau Allo Education : https://www.allobrevet.fr. Si tu es au lycée et que tu vises le bac, https://www.allobac.fr propose aussi des révisions utiles.
Conclusion
La fonction affine n'est pas difficile : elle est régulière. Une fois que tu as compris que a est le coefficient directeur, que b est l'ordonnée à l'origine, et que le signe de a donne le sens de variation, tu peux résoudre la majorité des exercices. Les pièges qu'on a vus (confondre a et b, oublier f(0), se tromper de signe, inverser la formule du coefficient directeur) se repèrent tous avec un peu d'attention. Alors prends ton cahier, trace des droites, vérifie tes calculs, et tu verras que la fonction affine devient vite un point facile à gagner.