Les lois de probabilité sont un pilier du programme de maths en terminale, mais elles reviennent aussi dès la 3e avec les probabilités simples. Que tu prépares le bac ou le brevet 2026, savoir refaire les exercices types te donnera confiance et efficacité. Dans cet article, on décortique les trois lois essentielles : la loi de Bernoulli, la loi binomiale et la loi normale. Chaque fois, tu trouveras une méthode claire et un exemple corrigé pas à pas. Prêt à devenir un as des probas ?
Qu'est-ce qu'une loi de probabilité ?
Une loi de probabilité, c'est un modèle mathématique qui décrit le comportement d'une expérience aléatoire. Elle associe à chaque issue possible une probabilité (un nombre entre 0 et 1). Par exemple, lancer un dé équilibré suit une loi uniforme : chaque face a une probabilité de 1/6. Mais dans la vie réelle, beaucoup de situations répondent à des schémas répétitifs : c'est là qu'interviennent les lois de Bernoulli, binomiale et normale.
La loi de Bernoulli : le modèle de base
Définition et paramètre
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui a exactement deux issues : succès (S) avec une probabilité p, et échec (E) avec une probabilité 1-p. On note alors X la variable aléatoire qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. Par exemple, tirer une boule rouge dans une urne contenant 3 rouges et 7 vertes : p = 3/10 = 0,3.
Propriétés
- Espérance : E(X) = p
- Variance : V(X) = p(1-p)
Exercice type : Calcul de probabilité
Énoncé : Un joueur tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. On considère le succès "tirer un roi". Quelle est la probabilité de succès ? Quelle est la loi de X ?
Corrigé : Il y a 4 rois dans 32 cartes, donc p = 4/32 = 1/8 = 0,125. X suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,125. Alors P(X=1) = 0,125 et P(X=0) = 1 - 0,125 = 0,875.
La loi binomiale : répétition d'épreuves de Bernoulli
Définition
On répète n fois la même épreuve de Bernoulli, de façon indépendante. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p). Par exemple, lancer un dé 10 fois et compter le nombre de 6 : n=10, p=1/6.
Formule clé
Pour tout entier k entre 0 et n, on a : P(X = k) = (n ! / (k! (n-k)!)) × p^k × (1-p)^(n-k). Le coefficient binomial (n k) se calcule avec la calculatrice.
Propriétés
- Espérance : E(X) = n × p
- Variance : V(X) = n × p × (1-p)
Exercice type : Calcul de probabilité avec la binomiale
Énoncé : On lance 5 fois une pièce équilibrée. Soit X le nombre de faces obtenues. Calculer P(X=2), P(X≥3) et l'espérance.
Corrigé : Ici n=5, p=0,5 (pièce équilibrée).
- P(X=2) = (5 2) × 0,5^2 × 0,5^3 = 10 × 0,25 × 0,125 = 10 × 0,03125 = 0,3125.
- P(X≥3) = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5). Calculons : P(X=3) = 10 × 0,125 × 0,25 = 0,3125 ; P(X=4) = 5 × 0,0625 × 0,5 = 0,15625 ; P(X=5) = 1 × 0,03125 × 1 = 0,03125. Somme = 0,3125+0,15625+0,03125 = 0,5.
- E(X) = n×p = 5×0,5 = 2,5.
La loi normale : l'incontournable des probabilités continues
Définition
Une variable aléatoire continue X suit une loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ, notée N(μ, σ²), si sa densité de probabilité a la forme d'une courbe en cloche. La loi normale centrée réduite (μ=0, σ=1) est notée N(0,1). On l'utilise pour modéliser des phénomènes naturels, des erreurs de mesure, etc.
Propriétés à connaître
- Symétrie autour de μ.
- Environ 68% des valeurs dans [μ-σ, μ+σ], 95% dans [μ-2σ, μ+2σ], 99,7% dans [μ-3σ, μ+3σ] (règle empirique).
- Si X suit N(μ, σ²), alors Z = (X - μ)/σ suit N(0,1).
Exercice type : Calcul de probabilité avec la loi normale
Énoncé : Les notes à un examen suivent une loi normale de moyenne 12 et d'écart-type 3. Quelle est la probabilité qu'un élève ait une note entre 9 et 15 ?
Corrigé : On pose X ~ N(12, 3²). On centre et réduit : Z = (X-12)/3 suit N(0,1). On cherche P(9 ≤ X ≤ 15) = P((9-12)/3 ≤ Z ≤ (15-12)/3) = P(-1 ≤ Z ≤ 1). Par symétrie, P(-1 ≤ Z ≤ 1) = 2×P(0≤Z≤1) = 2×0,3413 = 0,6826 (environ 68%).
Comment aborder un exercice de probabilité ?
Voici une méthode en 4 étapes :
- Identifier le type d'expérience : est-ce une épreuve de Bernoulli ? Y a-t-il répétition indépendante ? La variable est-elle discrète ou continue ?
- Définir la variable aléatoire : que compte-t-elle ? Quelles sont ses valeurs possibles ?
- Choisir la loi adaptée : Bernoulli si une seule épreuve, binomiale si n répétitions, normale si continue et symétrique.
- Appliquer les formules : coefficient binomial, centrage-réduction, lecture de table ou calculatrice.
Pièges à éviter
- Confondre Bernoulli et binomiale : Bernoulli = une seule épreuve, binomiale = plusieurs.
- Oublier l'indépendance : la binomiale exige des épreuves indépendantes. Si ce n'est pas le cas (tirage sans remise), il faut utiliser la loi hypergéométrique.
- Mal centrer-réduire : toujours soustraire μ puis diviser par σ, et non l'inverse.
- Utiliser la loi normale pour des variables discrètes : on peut approximer une binomiale par une normale si n est grand (np≥5 et n(1-p)≥5), mais c'est une approximation.
Conseils pour les révisions du brevet 2026 et du bac
Les probabilités sont un sujet récurrent au brevet et au bac. Pour le brevet 2026, concentre-toi sur les arbres de probabilités et les probabilités conditionnelles (programme de 3e). Pour la terminale, maîtrise la binomiale et la normale. N'oublie pas de t'entraîner avec des exercices variés, comme ceux disponibles sur notre plateforme d'exercices. Tu peux aussi consulter les annales sur AlloBrevET et AlloBac pour t'entraîner dans les conditions du jour J.
Conclusion
Les lois de probabilité ne sont pas si complexes si tu décomposes chaque exercice avec méthode. Rappelle-toi : Bernoulli pour une épreuve, binomiale pour des répétitions, normale pour des mesures continues. Entraîne-toi régulièrement, et tu verras que ces notions deviendront naturelles. Pour aller plus loin, explore nos fiches de révision et nos cours complets. Bon courage, tu es sur la bonne voie !