Tu as déjà vu une droite qui monte ou qui descend en cours de maths, et aussi une courbe en forme de U ou de pont. La première, c'est souvent une fonction affine, la seconde, une fonction du second degré. Beaucoup d'élèves les confondent, surtout quand ils doivent représenter une fonction affine ou lire un graphique. Pas de panique : avec des définitions précises, des exemples chiffrés et des astuces, tu vas apprendre à les distinguer une bonne fois pour toutes.
1. Les définitions clés : fonction affine et fonction polynôme du second degré
Commençons par le vocabulaire officiel du programme. Une fonction affine est une fonction qui s'écrit sous la forme :
f(x) = ax + b
avec a et b deux nombres réels. Le nombre a s'appelle le coefficient directeur (ou pente), et b est l'ordonnée à l'origine. Par exemple : f(x) = 2x + 3, g(x) = -x + 5, h(x) = 4x - 1. Toutes sont des fonctions affines.
Une fonction polynôme du second degré (souvent appelée simplement « fonction du second degré ») s'écrit sous la forme :
f(x) = ax² + bx + c
avec a (non nul), b et c des nombres réels. Par exemple : f(x) = x² - 3x + 2, ou g(x) = -2x² + 4x - 1. La présence du terme x² est la grande différence : c'est lui qui donne la forme de parabole à la courbe.
Les cas particuliers : fonction linéaire et fonction constante
Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où b = 0. Elle s'écrit f(x) = ax. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère. Par exemple, f(x) = 3x est linéaire, donc affine.
Si a = 0, alors f(x) = b : c'est une fonction constante. Sa courbe est une droite horizontale. Elle est aussi considérée comme affine (avec a = 0).
Pour le second degré, si a = 0, on retombe sur une fonction affine bx + c. C'est pourquoi on exige a ≠ 0 pour parler de second degré.
2. Représentation graphique : droite ou parabole ?
Le moyen le plus rapide de distinguer les deux types de fonctions, c'est de regarder leur courbe représentative.
- Fonction affine : la courbe est une droite. Elle peut être montante (si a > 0), descendante (si a < 0) ou horizontale (si a = 0). Une droite n'a qu'un seul « sens » : elle ne change pas de direction.
- Fonction du second degré : la courbe est une parabole. Elle a la forme d'un U (si a > 0, on dit « convexe ») ou d'un pont (si a < 0, on dit « concave »). La parabole change de sens : elle descend puis remonte, ou l'inverse.
Pour représenter une fonction affine en pratique, tu as besoin de deux points. Par exemple, pour f(x) = 2x + 1, tu calcules f(0) = 1 et f(1) = 3. Tu places les points (0 ; 1) et (1 ; 3), puis tu traces la droite qui les relie. C'est la méthode la plus simple.
Pour une fonction du second degré, il faut au minimum trois points pour esquisser la parabole, mais surtout il faut connaître son sommet. Par exemple, pour f(x) = x² - 2x, le sommet est en x = 1 (car x = -b/(2a) = 2/2 = 1). Tu calcules f(1) = -1, donc le sommet est (1 ; -1). Ensuite, tu prends deux points symétriques, comme (0 ; 0) et (2 ; 0). Tu obtiens une parabole.
Le tableau de valeurs : un outil commun mais différent
Pour une fonction affine, le tableau de valeurs montre une progression régulière : quand x augmente de 1, l'image f(x) augmente (ou diminue) toujours de la même valeur a. Par exemple, pour f(x) = 3x - 2 : f(0) = -2, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 7. On passe de -2 à 1, puis à 4, etc. : on ajoute toujours 3.
Pour une fonction du second degré, la progression n'est pas régulière. Prenons f(x) = x² : f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9. Les écarts entre les images sont 1, puis 3, puis 5 : ils augmentent. C'est un signe que la fonction n'est pas affine.
3. La méthode pas à pas : reconnaître une fonction affine dans un énoncé
Quand tu as une expression algébrique, voici comment procéder pour savoir si c'est une fonction affine.
Étape 1 : Développe et réduis l'expression si nécessaire. Par exemple, si on te donne f(x) = 2(x - 1) + 3, développe : f(x) = 2x - 2 + 3 = 2x + 1. C'est bien de la forme ax + b.
Étape 2 : Regarde s'il y a un terme en x². S'il y a un x² après réduction, ce n'est pas une fonction affine. Par exemple, f(x) = x(x - 2) = x² - 2x : c'est du second degré.
Étape 3 : Si l'expression est de la forme ax + b, identifie a et b. Le coefficient a est le nombre qui multiplie x, b est le terme constant.
Exemple : f(x) = -4x + 7. Ici, a = -4 et b = 7. La droite descendra car a est négatif.
Cas particulier : f(x) = 5 est une fonction constante (a = 0, b = 5), donc affine.
Cas piège : f(x) = 2x² + 3x - 1 n'est PAS affine, même s'il y a un terme en 3x. La présence de x² l'empêche d'être affine.
4. Exemple concret entièrement résolu : passer d'une fonction affine à une parabole
Prenons un problème classique de modélisation. Un vendeur reçoit un salaire fixe de 1000 € par mois, plus une commission de 50 € par article vendu. Son salaire mensuel S en fonction du nombre n d'articles vendus s'écrit :
S(n) = 50n + 1000
C'est une fonction affine. Pour n = 0, S(0) = 1000 ; pour n = 10, S(10) = 50×10 + 1000 = 1500. Sa représentation graphique est une droite qui passe par (0 ; 1000) et (10 ; 1500).
Imaginons maintenant une entreprise qui modélise son bénéfice B(x) en euros pour une production de x centaines d'objets par :
B(x) = -2x² + 12x - 10
Ici, c'est une fonction du second degré. Pour la représenter, on cherche le sommet : x_sommet = -b/(2a) = -12/(2×(-2)) = -12/(-4) = 3. Donc B(3) = -2×9 + 12×3 - 10 = -18 + 36 - 10 = 8. Le sommet est (3 ; 8). Comme a = -2 est négatif, la parabole est tournée vers le bas : le bénéfice maximal est 8 (unités de bénéfice) pour x = 3.
On peut aussi calculer les racines (les valeurs de x où B(x) = 0) : discriminant Δ = b² - 4ac = 12² - 4×(-2)×(-10) = 144 - 80 = 64. Les racines sont x₁ = (-12 - √64)/(2×(-2)) = (-12 - 8)/(-4) = (-20)/(-4) = 5, et x₂ = (-12 + 8)/(-4) = (-4)/(-4) = 1. La parabole coupe l'axe des abscisses en x = 1 et x = 5. On peut alors tracer la courbe.
Cet exemple montre bien la différence : le salaire augmente de façon constante (on ajoute toujours 50 €), tandis que le bénéfice suit une courbe qui monte puis redescend.
5. Les pièges fréquents : quand on confond les deux
Voici les erreurs les plus courantes que je vois en cours, et comment les éviter.
Piège n°1 : croire qu'une fonction avec un x² est affine. Exemple : f(x) = x² + 2. Certains élèves pensent que c'est affine parce qu'il y a un terme +2. Non ! La présence de x² en fait une parabole. Pour t'en souvenir, dis-toi : « affine = pas de x² ».
Piège n°2 : mal identifier le coefficient directeur. Pour f(x) = -3x + 4, le coefficient directeur est -3, pas 3. Une erreur de signe change toute la direction de la droite. Vérifie toujours le signe devant x.
Piège n°3 : confondre l'ordonnée à l'origine et le sommet. Dans une fonction affine, b est l'ordonnée où la droite coupe l'axe des ordonnées. Dans une fonction du second degré, le sommet n'est pas donné par c. Pour f(x) = x² + 2x + 1, c = 1, mais le sommet est en x = -1 (car -b/2a = -2/2 = -1) et f(-1) = 1 - 2 + 1 = 0. Donc le sommet est (-1 ; 0), pas (0 ; 1).
Piège n°4 : oublier de vérifier si une expression est développée. Parfois, on te donne f(x) = (x - 1)². Si tu ne développes pas, tu pourrais croire que c'est affine. Or (x - 1)² = x² - 2x + 1 : c'est du second degré. Prends toujours le réflexe de développer pour voir s'il y a un x².
Piège n°5 : tracer une courbe avec seulement deux points pour une fonction du second degré. Deux points suffisent pour une droite, mais pas pour une parabole. Il te faut au moins le sommet et deux points symétriques. Sinon, ta courbe sera fausse.
6. Comment réviser efficacement ces notions ?
La meilleure façon de ne plus confondre, c'est de s'entraîner avec des exercices variés. Voici une routine de révision simple :
- Chaque jour, prends une fonction écrite sous forme développée et demande-toi : « est-elle affine ? » Justifie en regardant s'il y a x².
- Pour chaque fonction affine, entraîne-toi à tracer sa droite en trouvant deux points. Tu peux utiliser la méthode du coefficient directeur : à partir de l'ordonnée à l'origine, avance de 1 en abscisse et monte (ou descend) de a unités.
- Pour chaque fonction du second degré, calcule le sommet et les racines (si elles existent). Trace la parabole en t'aidant de la symétrie.
- Révise les tableaux de signes : pour une fonction affine, le signe change une seule fois (sauf si a = 0). Pour une fonction du second degré, le signe est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre les racines.
Si tu as besoin de revoir les bases, consulte nos cours de maths et nos fiches de révision. Tu y trouveras des synthèses claires et des exercices corrigés.
Pour t'entraîner au brevet, n'hésite pas à consulter AlloBrevET, et pour le bac, AlloBac : ils proposent des annales et des conseils adaptés.
7. En résumé : les 4 différences essentielles
Pour finir, voici un tableau mental à retenir :
- Expression : affine → ax + b ; second degré → ax² + bx + c.
- Courbe : affine → droite ; second degré → parabole.
- Variations : affine → toujours croissante ou toujours décroissante (si a ≠ 0) ; second degré → décroissante puis croissante (si a > 0) ou l'inverse (si a < 0).
- Nombre de points pour tracer : affine → 2 points suffisent ; second degré → il faut le sommet et la symétrie.
Avec ces repères, tu ne confondras plus jamais une droite avec une parabole. Et si tu doutes encore, pense à la forme de l'équation : le x² est ton signal d'alarme.
Alors, prêt à t'entraîner ? Retrouve plus d'exercices sur notre page maths et lance-toi. Tu verras, avec un peu de pratique, tout devient plus clair.