La trigonométrie est une branche des mathématiques qui relie les angles et les longueurs dans les triangles. Que tu sois au collège ou au lycée, tu rencontreras des exercices types qu'il faut savoir refaire sans hésitation. Dans cet article, on te montre les méthodes pas à pas, avec des exemples concrets, pour que tu gagnes en confiance.
Rappel des définitions de base : sinus, cosinus, tangente
Dans un triangle rectangle, on définit trois rapports trigonométriques pour un angle aigu (noté souvent θ) :
- Sinus (sin θ) = côté opposé / hypoténuse
- Cosinus (cos θ) = côté adjacent / hypoténuse
- Tangente (tan θ) = côté opposé / côté adjacent
Un moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA (Sinus = Opposé / Hypoténuse, Cosinus = Adjacent / Hypoténuse, Tangente = Opposé / Adjacent).
Ces définitions sont valables pour tout angle aigu (entre 0° et 90°). Au lycée, on étend ces notions aux angles quelconques avec le cercle trigonométrique.
Exercice type n°1 : Calculer une longueur dans un triangle rectangle
C'est l'exercice le plus fréquent au collège. On te donne un angle et une longueur, et on te demande d'en trouver une autre.
Méthode
- Identifie le côté que tu connais et celui que tu cherches par rapport à l'angle donné (opposé, adjacent, hypoténuse).
- Choisis la bonne formule trigonométrique (sin, cos ou tan) qui relie ces deux côtés.
- Écris l'égalité, puis isole la longueur inconnue.
- Effectue le calcul à la calculatrice (attention au mode degrés).
Exemple
Soit un triangle rectangle ABC, rectangle en A. On sait que l'angle B mesure 35°, et le côté adjacent à B (AB) mesure 5 cm. Calcule la longueur de l'hypoténuse BC.
Étape 1 : Par rapport à l'angle B, on connaît le côté adjacent (AB = 5 cm) et on cherche l'hypoténuse (BC). La formule qui utilise adjacent et hypoténuse est le cosinus : cos(angle) = adjacent / hypoténuse.
Étape 2 : On écrit : cos(35°) = 5 / BC.
Étape 3 : On isole BC : BC = 5 / cos(35°).
Étape 4 : Avec la calculatrice (en degrés), cos(35°) ≈ 0,8192. Donc BC ≈ 5 / 0,8192 ≈ 6,10 cm.
Réponse : l'hypoténuse mesure environ 6,10 cm.
Exercice type n°2 : Calculer un angle dans un triangle rectangle
Ici, on connaît deux longueurs et on cherche la mesure d'un angle aigu.
Méthode
- Repère les deux côtés connus par rapport à l'angle cherché.
- Choisis la formule qui les relie (sin, cos ou tan).
- Écris l'égalité, puis utilise la fonction réciproque (arcsin, arccos ou arctan) sur la calculatrice pour trouver l'angle.
Exemple
Dans le même triangle rectangle ABC (rectangle en A), on donne AB = 5 cm et BC = 8 cm. Calcule la mesure de l'angle B.
Étape 1 : Par rapport à l'angle B, on connaît le côté adjacent (AB = 5 cm) et l'hypoténuse (BC = 8 cm). On utilise donc le cosinus.
Étape 2 : cos(B) = adjacent / hypoténuse = 5 / 8 = 0,625.
Étape 3 : Pour trouver l'angle, on utilise la touche cos⁻¹ (ou arccos) de la calculatrice : B = arccos(0,625).
Étape 4 : arccos(0,625) ≈ 51,3°. Donc l'angle B mesure environ 51,3°.
Vérification : la somme des angles du triangle rectangle est 180°, donc l'angle C = 90° - 51,3° = 38,7°.
Exercice type n°3 : Résoudre un triangle quelconque (lycée)
Au lycée, on utilise la trigonométrie dans des triangles non rectangles. Deux formules sont essentielles : la loi des sinus et la loi des cosinus.
Loi des sinus
Dans un triangle ABC quelconque, avec a = BC, b = AC, c = AB, et les angles A, B, C opposés respectivement à a, b, c, on a :
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R (R étant le rayon du cercle circonscrit).
Loi des cosinus
Elle généralise Pythagore : a² = b² + c² - 2bc cos(A), et de même pour les autres côtés.
Exemple d'application
Soit un triangle ABC avec AB = 7 cm, AC = 5 cm et l'angle A = 60°. Calcule BC.
On utilise la loi des cosinus : BC² = AB² + AC² - 2 × AB × AC × cos(A).
BC² = 7² + 5² - 2 × 7 × 5 × cos(60°) = 49 + 25 - 70 × 0,5 = 74 - 35 = 39.
Donc BC = √39 ≈ 6,24 cm.
Exercice type n°4 : Équations trigonométriques (Terminale)
En Terminale spécialité, on résout des équations du type sin(x) = a ou cos(x) = a sur un intervalle donné.
Méthode
- Isoler la fonction trigonométrique.
- Utiliser le cercle trigonométrique pour trouver les solutions de base.
- Ajouter la périodicité (2π pour sin et cos, π pour tan) pour obtenir toutes les solutions.
- Restreindre à l'intervalle demandé.
Exemple
Résous sin(x) = 1/2 dans [0, 2π[.
Sur le cercle trigonométrique, sin(x) = 1/2 pour x = π/6 et x = 5π/6 (car sin(π/6) = 1/2 et sin(5π/6) = 1/2).
Les solutions dans [0, 2π[ sont donc x = π/6 et x = 5π/6.
Conseils et pièges à éviter
- Calculatrice en mode degrés ou radians ? Vérifie toujours le mode de ta calculatrice. En collège, on travaille en degrés. Au lycée, les angles sont souvent en radians. Si tu utilises le mauvais mode, tes résultats seront faux.
- Ne confonds pas côté opposé et adjacent. Le côté adjacent est celui qui touche l'angle (avec l'hypoténuse), le côté opposé est en face.
- Pour la tangente, attention aux angles de 90° : tan(90°) n'est pas définie (division par zéro).
- Au lycée, pense aux identités trigonométriques : sin²(x) + cos²(x) = 1, tan(x) = sin(x)/cos(x). Elles sont très utiles pour simplifier.
Conclusion
La trigonométrie demande de la pratique. Refais ces exercices types plusieurs fois, avec des valeurs différentes, jusqu'à ce que les gestes deviennent automatiques. N'oublie pas de t'entraîner avec les ressources de Revisemaths et de consulter le cours complet si besoin. Pour le brevet, AlloBrevET propose aussi des fiches. Tu vas y arriver !