Tu entends parler de fonction linéaire en cours et tu aimerais y voir plus clair en quelques minutes ? Bonne nouvelle : c'est l'une des notions les plus simples et les plus utiles du programme de 3ème. Elle prépare aussi directement le lycée (2nde, 1ère, Terminale). Dans cet article, on t'explique tout pas à pas : la définition, comment la reconnaître, comment calculer une image ou un antécédent, et comment l'utiliser pour résoudre un vrai exercice type brevet 2026. Accroche-toi, en 10 minutes ce sera clair.
1. C'est quoi une fonction linéaire ?
Une fonction linéaire est une fonction qui, à chaque nombre x, associe le nombre a × x, où a est un nombre fixé. On la note :
f(x) = a × x (ou simplement f(x) = ax)
Le nombre a s'appelle le coefficient de la fonction linéaire. C'est le seul nombre qui la caractérise. Par exemple :
- f(x) = 3x est une fonction linéaire de coefficient 3.
- g(x) = -2x est une fonction linéaire de coefficient -2.
- h(x) = x/4 est une fonction linéaire de coefficient 1/4, car x/4 = (1/4) × x.
Attention : f(x) = 2x + 5 n'est PAS une fonction linéaire, c'est une fonction affine. La différence est capitale : une fonction linéaire n'a pas de « + quelque chose » à la fin. Elle passe toujours par l'origine du repère (le point (0 ; 0)).
Lien avec la proportionnalité
Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité. Si tu achètes des croissants à 1,20 € l'unité, le prix payé est proportionnel au nombre de croissants. Si on note x le nombre de croissants et f(x) le prix, alors f(x) = 1,20x. Le coefficient 1,20 est le prix unitaire. C'est exactement le même principe en maths : le coefficient a est le « prix unitaire » de la situation.
2. Comment calculer une image et un antécédent ?
Deux questions reviennent tout le temps avec les fonctions :
- Calculer l'image d'un nombre : on remplace x par ce nombre dans la formule. Exemple : pour f(x) = 5x, l'image de 4 est f(4) = 5 × 4 = 20.
- Calculer un antécédent : on cherche le nombre x tel que f(x) = valeur donnée. On résout une équation. Exemple : pour f(x) = 5x, quel est l'antécédent de 35 ? On résout 5x = 35, donc x = 35 ÷ 5 = 7. L'antécédent de 35 est 7.
Retiens bien : l'image, c'est le résultat (ce qui sort de la machine). L'antécédent, c'est le nombre de départ (ce qui entre dans la machine).
Un cas particulier important
Pour une fonction linéaire f(x) = ax, l'antécédent de 0 est toujours 0, car a × 0 = 0. Cela confirme que la droite passe par l'origine.
3. Représentation graphique : une droite qui passe par l'origine
La représentation graphique d'une fonction linéaire est toujours une droite qui passe par l'origine du repère (le point de coordonnées (0 ; 0)). Pour la tracer, il suffit de deux points : l'origine et un autre point.
Exemple avec f(x) = 2x :
- Pour x = 0 : f(0) = 2 × 0 = 0 → point (0 ; 0).
- Pour x = 3 : f(3) = 2 × 3 = 6 → point (3 ; 6).
Tu places ces deux points et tu traces la droite. Le coefficient a = 2 signifie que quand x augmente de 1, y augmente de 2. C'est ce qu'on appelle parfois la « pente » de la droite. Si a > 0, la droite monte. Si a < 0, la droite descend. Si a = 0, la droite est confondue avec l'axe des abscisses (f(x) = 0 pour tout x).
4. Exemple concret entièrement résolu (type brevet 2026)
Voici un énoncé classique de révision 3ème :
Un taxi facture 2,50 € par kilomètre parcouru. On note x la distance en km et f(x) le prix payé en euros.
1) Justifie que f est une fonction linéaire et donne son coefficient.
Le prix est proportionnel à la distance : f(x) = 2,50 × x. C'est bien de la forme f(x) = ax avec a = 2,50. Donc f est une fonction linéaire de coefficient 2,50.
2) Calcule l'image de 12 par f. Interprète le résultat.
f(12) = 2,50 × 12 = 30. L'image de 12 est 30. Cela signifie qu'un trajet de 12 km coûte 30 €.
3) Un client a payé 45 €. Quelle distance a-t-il parcourue ?
On cherche l'antécédent de 45 : on résout 2,50x = 45, donc x = 45 ÷ 2,50 = 18. Le client a parcouru 18 km.
4) Représente graphiquement f pour x allant de 0 à 20 km.
On place deux points : (0 ; 0) et par exemple (10 ; 25) car f(10) = 2,50 × 10 = 25. On trace la droite passant par ces deux points. Elle monte car le coefficient 2,50 est positif.
Tu vois ? Avec une seule formule, on répond à toutes les questions. C'est la puissance des fonctions linéaires.
5. Pièges fréquents et conseils de méthode
Piège n°1 : confondre linéaire et affine
Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b avec b ≠ 0. Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine avec b = 0. Si tu vois un « + 3 » ou un « - 7 », ce n'est plus linéaire. Vérifie toujours la présence d'un terme constant.
Piège n°2 : oublier de vérifier la proportionnalité
Pour justifier qu'une situation est linéaire, tu peux vérifier que les quotients f(x)/x sont tous égaux. Par exemple, si f(2) = 6 et f(5) = 15, alors 6/2 = 3 et 15/5 = 3. Le coefficient est 3, donc f(x) = 3x.
Piège n°3 : mal lire l'antécédent
Quand on demande l'antécédent, on donne le résultat et on cherche le départ. Ne confonds pas avec l'image. Une astuce : écris l'équation à résoudre avant de calculer.
Conseil de révision
Entraîne-toi à passer d'une forme à l'autre : formule → tableau → graphique → phrase. Pour réviser efficacement, utilise des fiches de révision et refais des exercices variés. Tu peux aussi consulter des cours détaillés pour consolider les bases. Et si tu prépares le brevet, jette un œil aux ressources gratuites sur AlloBrevet pour t'entraîner sur des annales.
6. Conclusion : à toi de jouer !
La fonction linéaire, c'est une machine simple : tu entres un nombre, elle le multiplie toujours par le même coefficient. Une fois que tu as compris ça, les exercices deviennent mécaniques. Pour progresser, rien ne remplace la pratique : refais l'exemple du taxi avec d'autres valeurs, invente tes propres fonctions linéaires et trace-les. Si tu veux aller plus loin, explore les ressources de maths disponibles en ligne. Et pour le lycée, sache que les fonctions linéaires sont la base des fonctions affines, des dérivées et des mod��les de proportionnalité que tu retrouveras en 2nde et au-delà. Alors, prêt à devenir incollable ?