Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?

Une équation contient le signe = et admet généralement un nombre fini de solutions. Une inéquation contient un signe d'inégalité ( , ≤, ≥) et ses solutions forment souvent un intervalle ou une réunion d'intervalles.

Pourquoi change-t-on le sens de l'inégalité quand on divise par un nombre négatif ?

Parce que multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse l'ordre sur la droite des réels. Par exemple, 2 -5. Donc si -3x > 6, en divisant par -3 on obtient x < -2.

Comment résoudre une inéquation produit comme (x - 1)(x + 4) > 0 ?

On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur (ici 1 et -4), on étudie le signe de chaque facteur dans un tableau de signes, puis on combine les signes. On conclut sur les intervalles où le produit est strictement positif.

Que faut-il faire des valeurs interdites dans une inéquation quotient ?

Il faut les exclure systématiquement de l'ensemble des solutions, car le dénominateur ne peut pas être nul. Dans un tableau de signes, on les note avec une double barre et les crochets correspondants sont toujours ouverts.

Combien de temps faut-il réviser les inéquations avant un contrôle ?

Tout dépend de ton niveau de départ. En général, trois semaines de révisions régulières (20 à 30 minutes par jour) suffisent pour maîtriser les inéquations du premier degré et les inéquations produit. L'essentiel est de se tester activement plutôt que de relire.

Peut-on vérifier facilement la solution d'une inéquation ?

Oui : choisis une valeur dans l'intervalle solution et une valeur en dehors, puis remplace-les dans l'inéquation de départ. Si la première donne une inégalité vraie et la seconde une inégalité fausse, ta solution est probablement correcte.

Inéquations : organiser ses révisions (collège & lycée)

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs d'une inconnue (souvent notée x) qui rendent une inégalité vraie. C'est une compétence centrale en algèbre, du collège (inéquations du premier degré) jusqu'au lycée (inéquations produit, quotient, avec valeur absolue ou exponentielle). Mais beaucoup d'élèves perdent des points non pas parce qu'ils ne savent pas calculer, mais parce qu'ils révisent mal : ils relisent leur cours sans jamais se tester, ou ils mélangent les règles des équations et celles des inéquations. Dans cet article, on va voir comment organiser des révisions efficaces des inéquations, avec des exemples chiffrés et une méthode applicable dès aujourd'hui. Tout est ancré dans le programme officiel, du cycle 4 à la Terminale spécialité.

1. Rappel : ce qu'est une inéquation et ce qui change par rapport à une équation

Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue. Par exemple : 3x + 5 < 17, ou (x - 2)(x + 1) ≥ 0. Résoudre une inéquation, c'est déterminer l'ensemble des solutions, souvent un intervalle ou une réunion d'intervalles.

La grande différence avec une équation tient à une règle fondamentale :

On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres sans changer le sens de l'inégalité.
On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre strictement positif sans changer le sens.
Mais si on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité change. Par exemple : 2 < 5, mais -2 > -5.

Cette dernière règle est la source d'erreurs numéro 1 chez les élèves de 3e comme de 1ère. Tu dois la connaître par cœur avant d'attaquer les exercices. Si tu veux revoir les bases du calcul algébrique, un détour par les cours de maths du site est utile.

Vocabulaire précis

On distingue les inégalités strictes (< et >) et larges (≤ et ≥). Cela change la nature des bornes de l'intervalle solution : crochets ouverts ou fermés. Par exemple, x < 3 donne l'intervalle ]-∞ ; 3[, tandis que x ≤ 3 donne ]-∞ ; 3].

2. Méthode étape par étape pour résoudre une inéquation du premier degré

Voici la démarche à appliquer systématiquement, que tu sois en 4e, 3e ou 2nde :

Étape 1 : développer et réduire chaque membre pour éliminer les parenthèses.
Étape 2 : regrouper les termes en x d'un côté et les constantes de l'autre, en utilisant l'addition ou la soustraction.
Étape 3 : diviser par le coefficient de x. Si ce coefficient est négatif, on inverse le sens de l'inégalité.
Étape 4 : écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle et vérifier avec une valeur test.

Cette méthode fonctionne pour toutes les inéquations linéaires. Pour les inéquations produit ou quotient, on utilise en plus un tableau de signes, que l'on voit en 2nde et que l'on réutilise en 1ère et Terminale.

Le cas des inéquations produit et quotient

Une inéquation produit s'écrit sous la forme A(x) × B(x) ≥ 0 (ou ≤, <, >). On étudie le signe de chaque facteur séparément, puis on combine les signes dans un tableau. Pour un quotient A(x)/B(x), on ajoute une condition : le dénominateur ne doit pas s'annuler (valeur interdite).

3. Exemple entièrement résolu : inéquation du premier degré

Résolvons : 5 - 2x ≤ 3x + 10.

On regroupe les x à droite : 5 - 2x - 3x ≤ 10, soit 5 - 5x ≤ 10.
On soustrait 5 des deux côtés : -5x ≤ 5.
On divise par -5, qui est négatif, donc on inverse le sens : x ≥ -1.

L'ensemble des solutions est [-1 ; +∞[. Vérification avec x = 0 (qui est bien ≥ -1) : 5 - 0 = 5 et 3×0 + 10 = 10, et 5 ≤ 10 est vrai. Avec x = -2 (qui n'est pas ≥ -1) : 5 + 4 = 9 et -6 + 10 = 4, et 9 ≤ 4 est faux. La solution est correcte.

Exemple avec une inéquation produit

Résolvons (x - 2)(x + 3) < 0. On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur : x = 2 et x = -3. On dresse le tableau de signes :

Pour x < -3 : (x - 2) est négatif, (x + 3) est négatif, le produit est positif.
Pour -3 < x < 2 : (x - 2) est négatif, (x + 3) est positif, le produit est négatif.
Pour x > 2 : les deux facteurs sont positifs, le produit est positif.

L'inéquation demande un produit strictement négatif, donc la solution est l'intervalle ]-3 ; 2[. Les bornes sont exclues car l'inégalité est stricte.

4. Organiser ses révisions : un plan concret sur 3 semaines

Réviser les inéquations ne se résume pas à relire. Voici un planning réaliste, adaptable à ton niveau :

Semaine 1 : revoir les règles de manipulation des inégalités (ajout, multiplication par un négatif). Faire 10 inéquations du premier degré par jour, en variant les coefficients négatifs.
Semaine 2 : passer aux inéquations produit et quotient. Apprendre à construire un tableau de signes proprement, avec les valeurs interdites pour les quotients.
Semaine 3 : mélanger les types d'exercices et se chronométrer. Refair

e les exercices ratés la semaine précédente. Pour t'entraîner, tu peux utiliser les exercices de maths classés par niveau.

Les pièges à éviter absolument

Oublier d'inverser le sens quand on divise par un nombre négatif. C'est l'erreur la plus fréquente.
Confondre crochets ouverts et fermés selon que l'inégalité est stricte ou large.
Ne pas exclure la valeur interdite dans une inéquation quotient : si le dénominateur s'annule en x = 1, alors 1 ne peut jamais être solution.
Mal placer les signes dans le tableau : vérifie toujours avec une valeur test dans chaque intervalle.
Réviser passivement : relire ne suffit pas. Il faut refaire des calculs de mémoire, puis vérifier.

Pour les élèves de 3e qui préparent le brevet, un entraînement régulier sur des annales est très efficace : le site AlloBrevet propose des fiches et des quiz adaptés. Pour les lycéens qui visent le bac, AlloBac regroupe des exercices corrigés par chapitre.

5. Adapter ses révisions selon son niveau

Au collège (cycle 4), l'objectif est de maîtriser les inéquations du premier degré à une inconnue, avec des coefficients simples, et de savoir représenter les solutions sur une droite graduée. Au lycée, dès la 2nde, on ajoute les inéquations produit et quotient, puis en 1ère et Terminale on rencontre des inéquations avec des fonctions (exponentielle, logarithme), des valeurs absolues, ou des inéquations trigonométriques. La méthode de révision change : plus tu avances, plus il faut comprendre le signe d'une expression, pas seulement isoler x.

Si tu veux consolider l'ensemble de tes bases algébriques, la page maths du site donne une vue d'ensemble des notions par niveau.

Comment vérifier que tu as vraiment compris

Un bon test : prends une inéquation, résous-la, puis invente une valeur qui devrait être solution et une qui ne devrait pas l'être. Remplace dans l'inéquation de départ. Si les deux vérifications fonctionnent, tu as compris. Sinon, refais le calcul en détaillant chaque étape.

6. Conclusion : passe à l'action dès maintenant

Les inéquations ne sont pas plus difficiles que les équations : elles demandent juste une règle supplémentaire (l'inversion du sens) et une bonne habitude de vérification. En organisant tes révisions sur trois semaines, en te testant régulièrement et en analysant tes erreurs, tu vas progresser rapidement. Commence par une série de cinq inéquations du premier degré aujourd'hui, puis augmente la difficulté progressivement. N'oublie pas : la régularité bat l'intensité. Bon courage, tu vas y arriver !