Quelle est la définition exacte du logarithme népérien ?

Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction définie sur ]0 ; +infini[ telle que ln(x) soit l'unique réel y vérifiant e^y = x. C'est donc la fonction réciproque de l'exponentielle. On a ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

Quelles sont les propriétés algébriques de ln à connaître par cœur ?

Pour a, b > 0 : ln(a × b) = ln(a) + ln(b), ln(a / b) = ln(a) - ln(b), ln(a^n) = n × ln(a), ln(1/a) = -ln(a) et ln(racine(a)) = (1/2) ln(a). Attention : ln(a + b) n'a PAS de formule simple.

Quelle est la dérivée de la fonction ln ?

Pour tout x > 0, la dérivée de ln(x) est 1/x. Pour une fonction composée u(x) > 0, la dérivée de ln(u) est u'/u. Par exemple, la dérivée de ln(3x + 1) est 3/(3x + 1).

Comment résoudre une équation avec ln ?

On commence par déterminer le domaine de validité (arguments strictement positifs), puis on regroupe les termes avec les propriétés algébriques pour obtenir une égalité ln(A) = ln(B). Comme ln est strictement croissante, cela équivaut à A = B. On résout l'équation obtenue et on filtre les solutions selon le domaine.

Le logarithme népérien est-il au programme du brevet ?

Non, le logarithme népérien n'est pas au programme du brevet. Il apparaît en Terminale spécialité maths. En revanche, les puissances et les racines carrées, vues au collège et indispensables pour comprendre ln, sont bien au programme du brevet 2026.

Quelle est la différence entre ln et log ?

En France, ln désigne le logarithme népérien (base e ≈ 2,718). Le logarithme décimal, noté log, est en base 10. Les propriétés algébriques sont identiques, mais les valeurs de référence diffèrent : log(10) = 1 alors que ln(e) = 1.

Logarithme népérien : comprendre la notion en Terminale

Tu entends parler de « ln » depuis le début de l'année de Terminale et tu te demandes à quoi ça sert vraiment ? Rassure-toi : le logarithme népérien n'est pas une invention sortie de nulle part. C'est une fonction qui répond à une question très concrète : comment trouver l'exposant inconnu dans une équation du type 2^x = 7 ? Si tu sais résoudre x² = 7 en utilisant la racine carrée, tu vas apprendre à résoudre 2^x = 7 grâce au logarithme. Dans cet article, on pose la définition, on déroule les propriétés, on calcule la dérivée, et on termine par un exemple entièrement résolu. Que tu sois en Terminale spécialité maths ou que tu prépares déjà le brevet 2026 en révisant les puissances, cette notion va te servir.

Qu'est-ce que le logarithme népérien ?

Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +infini[ par :

ln(1) = 0 (car e^0 = 1)
ln(e) = 1 où e ≈ 2,718 est le nombre d'Euler
Pour tout x > 0, ln(x) est l'unique réel y tel que e^y = x

Autrement dit, ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Si tu connais exp, tu connais déjà ln : c'est son miroir. La fonction exp transforme un exposant en résultat ; ln fait le chemin inverse, elle transforme un résultat en exposant.

Exemples immédiats à retenir par cœur :

ln(1) = 0
ln(e) = 1
ln(e²) = 2
ln(1/e) = -1 car 1/e = e^(-1)

Attention : ln(x) n'est défini que pour x strictement positif. Écrire ln(0) ou ln(-3) n'a aucun sens. C'est le premier réflexe à avoir face à une équation : vérifier le domaine de validité.

Lien avec les puissances vues au collège

Si tu es en 3e et que tu prépares le brevet, tu connais déjà la règle 10^a × 10^b = 10^(a+b). Le logarithme népérien fonctionne exactement sur le même principe : il transforme les multiplications en additions. C'est ce qui fait sa puissance en Terminale. Pour consolider tes bases sur les puissances et les racines, jette un œil aux fiches de révision disponibles sur le site.

Les propriétés algébriques du logarithme népérien

Ces formules sont la boîte à outils indispensable. Tu les utiliseras dans 90 % des exercices de logarithme népérien en maths Terminale.

Propriétés fondamentales

Pour tous réels a > 0 et b > 0 :

ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
ln(a / b) = ln(a) - ln(b)
ln(a^n) = n × ln(a) pour tout entier relatif n
ln(racine(a)) = (1/2) × ln(a)
ln(1/a) = -ln(a)

Ces propriétés découlent directement de celles de l'exponentielle. Par exemple, ln(a × b) = ln(a) + ln(b) parce que e^(x+y) = e^x × e^y.

Exemple d'application immédiate

Simplifions A = ln(8) - 2 × ln(2) + ln(4).

Étape 1 : ln(8) = ln(2³) = 3 × ln(2).
Étape 2 : ln(4) = ln(2²) = 2 × ln(2).
Étape 3 : A = 3 ln(2) - 2 ln(2) + 2 ln(2) = 3 ln(2).

Résultat final : A = 3 ln(2). Remarque qu'on n'a jamais eu besoin de calculer une valeur approchée : c'est tout l'intérêt des propriétés algébriques.

Étudier la fonction ln : dérivée, variations, limites

Au programme de Terminale spécialité, tu dois connaître la fonction ln dans ses moindres détails.

Dérivée de ln

Pour tout x > 0 :

(ln x)' = 1 / x

Et pour une fonction composée u(x) > 0 :

(ln u)' = u' / u

Exemple : la dérivée de f(x) = ln(3x + 1) sur ]-1/3 ; +infini[ est f'(x) = 3 / (3x + 1).

Tableau de variations et limites

lim ln(x) quand x tend vers 0+ = -infini
lim ln(x) quand x tend vers +infini = +infini
ln est strictement croissante sur ]0 ; +infini[
La courbe de ln passe par (1 ; 0) et (e ; 1)

Conséquence très utile : ln(a) = ln(b) équivaut à a = b (pour a, b > 0). C'est la clé pour résoudre les équations.

Croissances comparées

Deux limites à connaître par cœur :

lim (ln x) / x quand x tend vers +infini = 0
lim x × ln(x) quand x tend vers 0+ = 0

Elles traduisent que ln croît très lentement devant x. Pour aller plus loin sur les limites et les dérivées, consulte les cours de maths du site.

Exemple entièrement résolu : résoudre une équation avec ln

Résolvons dans ]0 ; +infini[ l'équation :

ln(x) + ln(x + 3) = ln(10)

Étape 1 : domaine de validité

Il faut x > 0 et x + 3 > 0, donc x > 0. On résoudra dans ]0 ; +infini[.

Étape 2 : regrouper avec les propriétés

ln(x) + ln(x + 3) = ln(x(x + 3)) = ln(x² + 3x).

L'équation devient : ln(x² + 3x) = ln(10).

Étape 3 : utiliser l'injectivité de ln

Comme ln est strictement croissante, ln(A) = ln(B) implique A = B (avec A, B > 0). Donc :

x² + 3x = 10, soit x² + 3x - 10 = 0.

Étape 4 : résoudre l'équation du second degré

Discriminant : delta = 3² - 4 × 1 × (-10) = 9 + 40 = 49.

Racine de delta : racine(49) = 7.

x1 = (-3 - 7) / 2 = -10 / 2 = -5.
x2 = (-3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2.

Étape 5 : conclure avec le domaine

x1 = -5 est exclu car x doit être > 0. La seule solution est x = 2.

Vérification : ln(2) + ln(5) = ln(10). Correct.

Cet exemple montre la méthode type : domaine → propriétés → simplification → équation polynômiale → filtrage des solutions. Si tu veux t'entraîner sur des exercices similaires avant le bac, le site AlloBac propose des annales corrigées par chapitre.

Pièges fréquents et conseils de révision

Les erreurs à ne jamais commettre

Écrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b) : c'est FAUX. La propriété ne marche que pour le produit.
Oublier le domaine de validité : ln(x - 2) impose x > 2, pas x ≥ 2.
Confondre ln(0) et 0 : ln(0) n'existe pas, ln(1) = 0.
Simplifier ln(2x) en 2 ln(x) : faux. ln(2x) = ln(2) + ln(x).
Oublier la valeur absolue dans la dérivée de ln|u| : (ln|u|)' = u'/u.

Méthode de révision efficace

Trois réflexes pour progresser vite :

Réécris les 5 propriétés algébriques de tête chaque matin pendant une semaine.
Refais deux exercices types par jour : un de simplification, un de résolution d'équation.
Trace la courbe de ln et celle de exp sur le même repère : tu visualiseras la symétrie par rapport à la droite y = x.

Si tu prépares aussi le brevet (même si ln n'y figure pas), continue à consolider les puissances et les racines carrées sur AlloBrevet : c'est la base qui rendra ln évident en Terminale. Et pour revoir l'ensemble du programme de maths du lycée, direction la page maths du site.

Conclusion : passe à la pratique

Le logarithme népérien en maths Terminale n'est pas une notion à mémoriser passivement : c'est un outil qui transforme les produits en sommes, les puissances en multiplications, et qui débloque les équations exponentielles. Retiens sa définition (réciproque de exp), ses propriétés algébriques, sa dérivée 1/x, et sa croissance stricte. Une fois ces quatre piliers en place, tu résoudras n'importe quel exercice de bac sur ln. Entraîne-toi dès aujourd'hui sur un exercice d'équation logarithmique : c'est en calculant que la notion devient naturelle. Bon courage, tu as toutes les cartes en main !