Une étude de fonction consiste à décrire complètement le comportement d'une fonction f : où elle monte, où elle descend, quelles valeurs elle atteint, et à quoi ressemble sa courbe. C'est un exercice incontournable du lycée, qui combine plusieurs outils : domaine de définition, dérivée, signe de la dérivée et tableau de variation. Bonne nouvelle : la méthode est toujours la même. Une fois que tu l'as comprise, tu peux l'appliquer à n'importe quelle fonction.
Dans cet article, on va construire ensemble cette méthode étape par étape, puis on l'appliquera sur un exemple entièrement résolu, calculs compris. Si tu veux d'abord revoir les bases des fonctions (image, antécédent, courbe), commence par la page maths du site, puis reviens ici.
Qu'est-ce qu'une étude de fonction ?
Étudier une fonction f, c'est répondre à plusieurs questions :
- Sur quel ensemble la fonction est-elle définie (son domaine de définition) ?
- La fonction est-elle croissante ou décroissante, et sur quels intervalles ?
- Atteint-elle un maximum ou un minimum local ?
- Quelles sont les limites aux bornes du domaine (en Terminale) ?
- Quelle est l'allure de la courbe représentative ?
Le mot-clé à retenir est variation. Une fonction croissante sur un intervalle I signifie que si a < b dans I, alors f(a) ≤ f(b). Une fonction décroissante signifie que si a < b, alors f(a) ≥ f(b).
L'outil central pour trouver ces variations est la dérivée f'(x). Le principe fondamental est le suivant :
- Si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.
- Si f'(x) < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.
- Si f'(x) = 0 en un point et change de signe, ce point est un extremum (maximum ou minimum local).
C'est ce théorème (admis en Première, démontré via le taux d'accroissement) qui rend l'étude de fonction systématique.
La méthode étape par étape
Voici la démarche à suivre, dans l'ordre, pour toute étude de fonction.
Étape 1 : déterminer le domaine de définition
On cherche toutes les valeurs de x pour lesquelles f(x) existe. On exclut :
- les valeurs qui annulent un dénominateur ;
- les valeurs sous une racine carrée qui rendent l'expression négative ;
- les valeurs qui rendent un logarithme négatif ou nul (si ln est au programme).
Étape 2 : calculer la dérivée f'(x)
On utilise les formules de dérivation du programme :
- (x^n)' = n·x^(n-1), en particulier (x²)' = 2x ;
- (u + v)' = u' + v' ;
- (u·v)' = u'v + uv' ;
- (u/v)' = (u'v − uv') / v².
Étape 3 : étudier le signe de f'(x)
C'est l'étape la plus importante. On résout f'(x) = 0, puis on dresse le tableau de signes de f'(x). Pour un polynôme du second degré, on calcule le discriminant delta = b² − 4ac et on utilise les racines.
Étape 4 : dresser le tableau de variation
On reporte le signe de f'(x) et on en déduit les flèches (montantes ou descendantes) de f. On calcule les valeurs de f aux bornes et aux extremums.
Étape 5 : conclure avec la courbe
On peut alors tracer l'allure de la courbe en plaçant les points remarquables : extremums, intersections avec les axes, éventuelles asymptotes.
Pour t'entraîner sur ces étapes avec des exercices corrigés, tu peux consulter les fiches du site.
Exemple entièrement résolu
Soit la fonction f définie sur ℝ par :
f(x) = x³ − 3x + 1
1) Domaine de définition
f est un polynôme, donc définie sur ℝ tout entier. Pas de valeur interdite.
2) Calcul de la dérivée
On dérive terme à terme :
- (x³)' = 3x²
- (−3x)' = −3
- (1)' = 0
Donc f'(x) = 3x² − 3.
3) Signe de la dérivée
On factorise : f'(x) = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1).
Les racines sont x = −1 et x = 1. Comme 3 > 0, le signe de f'(x) est celui de (x − 1)(x + 1), c'est-à-dire :
- f'(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[ et sur ]1 ; +∞[ ;
- f'(x) < 0 sur ]−1 ; 1[ ;
- f'(−1) = 0 et f'(1) = 0.
4) Tableau de variation
On calcule les valeurs de f aux points critiques :
- f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 1 = −1 + 3 + 1 = 3
- f(1) = 1³ − 3(1) + 1 = 1 − 3 + 1 = −1
On peut aussi vérifier les limites : quand x → −∞, x³ → −∞, donc f(x) → −∞. Quand x → +∞, f(x) → +∞.
Le tableau de variation se lit ainsi :
- Sur ]−∞ ; −1], f'(x) > 0 donc f est croissante, de −∞ jusqu'à f(−1) = 3. Maximum local en x = −1, valeur 3.
- Sur [−1 ; 1], f'(x) < 0 donc f est décroissante, de 3 jusqu'à f(1) = −1. Minimum local en x = 1, valeur −1.
- Sur [1 ; +∞[, f'(x) > 0 donc f est croissante, de −1 jusqu'à +∞.
5) Conclusion
La fonction admet un maximum local égal à 3 atteint en x = −1, et un minimum local égal à −1 atteint en x = 1. La courbe a l'allure d'un « S » : elle descend, remonte, redescend, remonte. C'est typique d'une fonction polynôme de degré 3.
Si tu prépares le brevet et veux consolider les bases sur les fonctions, jette un œil à allobrevet.fr. Si tu es au lycée et prépares le bac, allobac.fr propose des ressources adaptées.
Pièges fréquents et conseils de méthode
Piège 1 : oublier de vérifier le domaine
Sur une fonction rationnelle comme f(x) = (x + 1)/(x − 2), le domaine est ℝ privé de 2. Si tu étudies la dérivée sans exclure x = 2, ton tableau de variation est faux. Toujours commencer par le domaine.
Piège 2 : confondre f'(x) = 0 et extremum
Ce n'est pas parce que f'(x) = 0 que c'est un extremum. Il faut que f' change de signe. Exemple : f(x) = x³, f'(x) = 3x² s'annule en 0 mais ne change pas de signe (toujours positif). Donc pas d'extremum en 0, juste un point d'inflexion.
Piège 3 : erreur de signe dans le tableau
Un trinôme du second degré ax² + bx + c est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à l'intérieur (quand delta > 0). Retiens : « a à l'extérieur ». C'est la règle la plus utile pour le signe de la dérivée.
Piège 4 : mal dériver un quotient
La formule (u/v)' = (u'v − uv')/v² est souvent mal appliquée : le signe « − » est essentiel et le dénominateur est v², pas v. Vérifie toujours tes calculs en dérivant un cas simple.
Conseil de révision
Entraîne-toi à enchaîner les 5 étapes sur des fonctions de difficulté croissante : d'abord un polynôme de degré 2, puis de degré 3, puis une fonction rationnelle. Pour chaque exercice, écris le tableau de variation en entier, même si tu penses pouvoir t'en passer. C'est en répétant ce geste que tu gagnes en rapidité le jour du contrôle.
Tu trouveras des cours détaillés et des exercices progressifs sur le site.
Conclusion
L'étude de fonction n'est pas une accumulation de recettes : c'est une démarche logique qui part du domaine, passe par la dérivée, se lit dans le tableau de variation et se termine par la courbe. Une fois que tu maîtrises cette chaîne, tu peux aborder n'importe quelle fonction du programme, de la Première à la Terminale.
La clé, c'est la pratique : refais l'exemple de cet article sans regarder la correction, puis attaque des exercices variés. Chaque étude de fonction te fera progresser en dérivation, en signe et en lecture graphique. Tu es capable de le faire, une étape après l'autre.